4. ´
EV `
ENEMENTS IND ´
EPENDANTS
59
(iii) Les seuls ´ ev` enements qui sont ind´ ependants d’eux-mˆ emes sont les
´ ev` enements de probabilit´ e 0 ou 1.
On prolonge la notion d’ind´ ependance de deux ´ ev` enements au cas des
suites d’´ ev` enements. A cˆ ot´ e de l’ind´ ependance de deux ´ ev` enements de
la suite, pris deux `
a deux, on peut aussi d´ efinir la notion d’´ ev` enements
mutuellement ind´ ependants :
D´ efinition. — Soit (A n ) une suite finie ou infinie d’´ ev` enements. On dit
que les ´ ev` enements A 1 , A 2 , . . . sont mutuellement ind´ ependants, si pour toute
suite finie A i 1 , A i 2 , . . . , A i k d’´ ev` enements distincts, on a :
P(A i 1 A i 2 . . . A i k ) = P(A i 1 )P(A i 2 ) · · · P(A i k ).
Notons que si la suite (A n ) est finie et se compose de m (m ≥ 2) ´ ev` enements
distincts, le nombre de conditions impos´ ees dans la d´ efinition est ´ egal ` a :
m
2
+
m
3
+ · · · +
m
m
= 2
m
− m − 1.
Remarque 1. — L’exemple suivant montre que m ´ ev` enements peuvent
ˆ etre ind´ ependants deux `
a deux sans ˆ etre ind´ ependants mutuellement (on
dit encore : dans leur ensemble). On lance deux d´ es et on d´ esigne par A
l’´ ev` enement le premier d´ e am` ene un nombre pair , par B l’´ ev` enement
le second d´ e am` ene un nombre impair , par C l’´ ev` enement les deux d´ es
am` enent des nombres de mˆ eme parit´ e .
On a P(A) = P(B) = P(C) = 1/2, puis P(AB) = P(BC) = P(CA) = 1/4,
mais P(ABC) = 0 = P(A)P(B)P(C). Cet exemple montre que A peut ˆ etre
ind´ ependant de B et de C s´ epar´ ement, sans l’ˆ etre de l’intersection B ∩ C.
Remarque 2. — Prenons maintenant un exemple tir´ e de l’arithm´ etique
montrant la diff´ erence entre ind´ ependance mutuelle et ind´ ependance deux
` a deux : on consid` ere une urne contenant N boules num´ erot´ ees de 1 ` a N .
Une exp´ erience consiste ` a tirer une boule au hasard et `
a noter son num´ ero.
L’espace probabilis´ e associ´ e est le triplet (Ω, P(Ω), P), o` u Ω = {1, . . . , N} et
o` u P est l’´ equir´ epartition sur Ω.
1) Pour chaque diviseur a de N on d´ esigne par E a l’´ ev` enement la boule
tir´ ee porte un num´ ero divisible par a ; on a imm´ ediatement P(E a ) = 1/a.
2) Soient a et b deux diviseurs de N ; on d´ esigne par [a, b] leur p.p.c.m. ;
c’est encore un diviseur de N . Il r´ esulte alors de la relation E a ∩ E b = E [a,b] ,
que P(E a ∩ E b ) = 1/[a, b].
On en d´ eduit que les deux propri´ et´ es suivantes sont ´ equivalentes :
a) [a, b] = ab, i.e. a et b sont premiers entre eux ;
b) P(E a ∩ E b ) = P(E a )P(E b ), i.e., E a et E b sont ind´ ependants.
3) Soient n un entier sup´ erieur ou ´ egal ` a 2 et a 1 , . . . , a n des diviseurs
de N ; on d´ esigne par [a 1 , . . . , a n ] leur p.p.c.m. ; c’est encore un diviseur
de N . Il r´ esulte alors de la relation E a 1 ∩ · · · ∩ E a n = E [a 1 ,...,a n ] que
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ENEMENTS IND ´
EPENDANTS
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(iii) Les seuls ´ ev` enements qui sont ind´ ependants d’eux-mˆ emes sont les
´ ev` enements de probabilit´ e 0 ou 1.
On prolonge la notion d’ind´ ependance de deux ´ ev` enements au cas des
suites d’´ ev` enements. A cˆ ot´ e de l’ind´ ependance de deux ´ ev` enements de
la suite, pris deux `
a deux, on peut aussi d´ efinir la notion d’´ ev` enements
mutuellement ind´ ependants :
D´ efinition. — Soit (A n ) une suite finie ou infinie d’´ ev` enements. On dit
que les ´ ev` enements A 1 , A 2 , . . . sont mutuellement ind´ ependants, si pour toute
suite finie A i 1 , A i 2 , . . . , A i k d’´ ev` enements distincts, on a :
P(A i 1 A i 2 . . . A i k ) = P(A i 1 )P(A i 2 ) · · · P(A i k ).
Notons que si la suite (A n ) est finie et se compose de m (m ≥ 2) ´ ev` enements
distincts, le nombre de conditions impos´ ees dans la d´ efinition est ´ egal ` a :
m
2
+
m
3
+ · · · +
m
m
= 2
m
− m − 1.
Remarque 1. — L’exemple suivant montre que m ´ ev` enements peuvent
ˆ etre ind´ ependants deux `
a deux sans ˆ etre ind´ ependants mutuellement (on
dit encore : dans leur ensemble). On lance deux d´ es et on d´ esigne par A
l’´ ev` enement le premier d´ e am` ene un nombre pair , par B l’´ ev` enement
le second d´ e am` ene un nombre impair , par C l’´ ev` enement les deux d´ es
am` enent des nombres de mˆ eme parit´ e .
On a P(A) = P(B) = P(C) = 1/2, puis P(AB) = P(BC) = P(CA) = 1/4,
mais P(ABC) = 0 = P(A)P(B)P(C). Cet exemple montre que A peut ˆ etre
ind´ ependant de B et de C s´ epar´ ement, sans l’ˆ etre de l’intersection B ∩ C.
Remarque 2. — Prenons maintenant un exemple tir´ e de l’arithm´ etique
montrant la diff´ erence entre ind´ ependance mutuelle et ind´ ependance deux
` a deux : on consid` ere une urne contenant N boules num´ erot´ ees de 1 ` a N .
Une exp´ erience consiste ` a tirer une boule au hasard et `
a noter son num´ ero.
L’espace probabilis´ e associ´ e est le triplet (Ω, P(Ω), P), o` u Ω = {1, . . . , N} et
o` u P est l’´ equir´ epartition sur Ω.
1) Pour chaque diviseur a de N on d´ esigne par E a l’´ ev` enement la boule
tir´ ee porte un num´ ero divisible par a ; on a imm´ ediatement P(E a ) = 1/a.
2) Soient a et b deux diviseurs de N ; on d´ esigne par [a, b] leur p.p.c.m. ;
c’est encore un diviseur de N . Il r´ esulte alors de la relation E a ∩ E b = E [a,b] ,
que P(E a ∩ E b ) = 1/[a, b].
On en d´ eduit que les deux propri´ et´ es suivantes sont ´ equivalentes :
a) [a, b] = ab, i.e. a et b sont premiers entre eux ;
b) P(E a ∩ E b ) = P(E a )P(E b ), i.e., E a et E b sont ind´ ependants.
3) Soient n un entier sup´ erieur ou ´ egal ` a 2 et a 1 , . . . , a n des diviseurs
de N ; on d´ esigne par [a 1 , . . . , a n ] leur p.p.c.m. ; c’est encore un diviseur
de N . Il r´ esulte alors de la relation E a 1 ∩ · · · ∩ E a n = E [a 1 ,...,a n ] que