58 CHAPITRE 6 : PROBABILIT ´
ES CONDITIONNELLES. IND ´
EPENDANCE
Il est imm´ ediat de v´ erifier que si A est ind´ ependant de B, alors B est
ind´ ependant de A. On a donc recours plus volontiers `
a une expression qui
refl` ete cette sym´ etrie et l’on dit que A et B sont mutuellement ind´ ependants.
De fa¸ con g´ en´ erale, on utilise la d´ efinition suivante.
D´ efinition. — Deux ´ ev` enements A et B sont dits ind´ ependants (pour la
mesure de probabilit´ e P), si l’on a :
P(AB) = P(A) P(B).
Proposition 4.1. — Soient A, B, C (avec ou sans indices) des
´ ev` enements.
(i) Si A et B sont ind´ ependants, alors A et B
c sont ind´ ependants.
(ii) Si A et B sont ind´ ependants, si A et C sont ind´ ependants et si de
plus C ⊃ B, alors A et C \ B sont ind´ ependants.
(iii) Tout ´ ev` enement est ind´ ependant de tout ´ ev` enement de probabilit´ e
nulle ou de probabilit´ e ´ egale `
a 1.
(iv) Si (A n ) est une suite d’´ ev` enements deux `
a deux incompatibles et
si A est ind´ ependant de A n pour tout n, alors A est ind´ ependant de l’union
disjointe
n A n .
D´ emonstration. — Pour ´ etablir la propri´ et´ e (i), on ´ ecrit simplement :
P(AB
c ) = P(A \ AB) = P(A) − P(AB) = P(A) − P(A)P(B) = P(A)(1 −
P(B)) = P(A)P(B
c ). Pour la propri´ et´ e (ii), on ´ ecrit : P(A(C \ B)) = P(AC \
AB) = P(AC) − P(AB) = P(A)P(C) − P(A)P(B) = P(A)(P(C) − P(B)) =
P(A)P(C \ B).
Pour ´ etablir (iii), consid´ erons les ´ ev` enements B et C, de probabilit´ e
P(B) = 0 et P(C) = 1. Pour tout ´ ev` enement A, l’inclusion AB ⊂ B entraˆ ıne
0 ≤ P(AB) ≤ P(B) = 0, d’o` u 0 = P(AB) = P(A)P(B). Pour v´ erifier que
A est ind´ ependant de C, on remarque d’abord que A et C
c sont ind´ ependants, puisque C
c est de probabilit´ e nulle. De l` a, A et C sont ind´ ependants
d’apr` es (ii). La propri´ et´ e (iv) ne fait qu’utiliser la propri´ et´ e de σ-additivit´ e
des probabilit´ es. On a, en effet, P(A
n A n ) = P(
n AA n ) =
n P(AA n ) =
n P(A)P(A n ) = P(A)P(
n A n ).
Remarque. — Soit D A la classe des ´ ev` enements qui sont ind´ ependants
d’un ´ ev` enement donn´ e A. On peut reformuler les propri´ et´ es ci-dessus en
disant que D A est une classe d’´ ev` enements qui contient Ω et qui est stable par
passage au compl´ ementaire, par diff´ erence propre et par r´ eunion d´ enombrable
disjointe. Autrement dit, D A est un syst` eme de Dynkin (cf. chap. 2, § 3). On
peut montrer que D A n’est en g´ en´ eral pas stable par intersection, ce n’est en
g´ en´ eral pas une alg` ebre. (cf. Remarque 1 ci-dessous.)
Autres remarques
(i) Dans la Proposition 4.1, la premi` ere propri´ et´ e est une cons´ equence
de la deuxi` eme et de la troisi` eme (prendre C = Ω).
(ii) Deux ´ ev` enements ne peuvent ˆ etre ind´ ependants s’ils sont incompatibles, sauf si l’un d’eux a une probabilit´ e nulle.
ES CONDITIONNELLES. IND ´
EPENDANCE
Il est imm´ ediat de v´ erifier que si A est ind´ ependant de B, alors B est
ind´ ependant de A. On a donc recours plus volontiers `
a une expression qui
refl` ete cette sym´ etrie et l’on dit que A et B sont mutuellement ind´ ependants.
De fa¸ con g´ en´ erale, on utilise la d´ efinition suivante.
D´ efinition. — Deux ´ ev` enements A et B sont dits ind´ ependants (pour la
mesure de probabilit´ e P), si l’on a :
P(AB) = P(A) P(B).
Proposition 4.1. — Soient A, B, C (avec ou sans indices) des
´ ev` enements.
(i) Si A et B sont ind´ ependants, alors A et B
c sont ind´ ependants.
(ii) Si A et B sont ind´ ependants, si A et C sont ind´ ependants et si de
plus C ⊃ B, alors A et C \ B sont ind´ ependants.
(iii) Tout ´ ev` enement est ind´ ependant de tout ´ ev` enement de probabilit´ e
nulle ou de probabilit´ e ´ egale `
a 1.
(iv) Si (A n ) est une suite d’´ ev` enements deux `
a deux incompatibles et
si A est ind´ ependant de A n pour tout n, alors A est ind´ ependant de l’union
disjointe
n A n .
D´ emonstration. — Pour ´ etablir la propri´ et´ e (i), on ´ ecrit simplement :
P(AB
c ) = P(A \ AB) = P(A) − P(AB) = P(A) − P(A)P(B) = P(A)(1 −
P(B)) = P(A)P(B
c ). Pour la propri´ et´ e (ii), on ´ ecrit : P(A(C \ B)) = P(AC \
AB) = P(AC) − P(AB) = P(A)P(C) − P(A)P(B) = P(A)(P(C) − P(B)) =
P(A)P(C \ B).
Pour ´ etablir (iii), consid´ erons les ´ ev` enements B et C, de probabilit´ e
P(B) = 0 et P(C) = 1. Pour tout ´ ev` enement A, l’inclusion AB ⊂ B entraˆ ıne
0 ≤ P(AB) ≤ P(B) = 0, d’o` u 0 = P(AB) = P(A)P(B). Pour v´ erifier que
A est ind´ ependant de C, on remarque d’abord que A et C
c sont ind´ ependants, puisque C
c est de probabilit´ e nulle. De l` a, A et C sont ind´ ependants
d’apr` es (ii). La propri´ et´ e (iv) ne fait qu’utiliser la propri´ et´ e de σ-additivit´ e
des probabilit´ es. On a, en effet, P(A
n A n ) = P(
n AA n ) =
n P(AA n ) =
n P(A)P(A n ) = P(A)P(
n A n ).
Remarque. — Soit D A la classe des ´ ev` enements qui sont ind´ ependants
d’un ´ ev` enement donn´ e A. On peut reformuler les propri´ et´ es ci-dessus en
disant que D A est une classe d’´ ev` enements qui contient Ω et qui est stable par
passage au compl´ ementaire, par diff´ erence propre et par r´ eunion d´ enombrable
disjointe. Autrement dit, D A est un syst` eme de Dynkin (cf. chap. 2, § 3). On
peut montrer que D A n’est en g´ en´ eral pas stable par intersection, ce n’est en
g´ en´ eral pas une alg` ebre. (cf. Remarque 1 ci-dessous.)
Autres remarques
(i) Dans la Proposition 4.1, la premi` ere propri´ et´ e est une cons´ equence
de la deuxi` eme et de la troisi` eme (prendre C = Ω).
(ii) Deux ´ ev` enements ne peuvent ˆ etre ind´ ependants s’ils sont incompatibles, sauf si l’un d’eux a une probabilit´ e nulle.