4. ´
EV `
ENEMENTS IND ´
EPENDANTS
57
D´ emonstration. — V´ erifions d’abord que si une telle mesure P existe, elle
satisfait n´ ecessairement la relation (3.2). Consid´ erons, en effet, un ´ el´ ement
ω = (x 1 , . . . , x n ) de Ω. Si p 1 (x 1 ) = 0, alors P{X 1 = x 1 } = 0, ce qui
entraˆ ıne P{X 1 = x 1 , . . . , X n = x n } = 0. La relation (3.2) est donc v´ erifi´ ee.
Maintenant, si p 1 (x 1 ) > 0, notons x n+1 un ´ el´ ement fix´ e de S et posons, par
commodit´ e, q n+1 (x 1 , . . . , x n , x n+1 ) = 0. On peut alors d´ esigner par i + 1 le
plus petit entier tel que 2 ≤ i + 1 ≤ n + 1 et q i+1 (x 1 , . . . , x i+1 ) = 0. On a
alors, successivement,
P{X 1 = x 1 , X 2 = x 2 } = P{X 2 = x 2 | X 1 = x 1 }P{X 1 = x 1 }
= q 2 (x 1 , x 2 )p 1 (x 1 ) > 0,
· · · = · · ·
P{X 1 = x 1 , . . . , X i = x i } = P{X i = x i | X 1 = x 1 , . . . , X i−1 = x i−1 }
× P{X 1 = x 1 , . . . , X i−1 = x i−1 }
= q i (x 1 , . . . , x i )
× P{X 1 = x 1 , . . . , X i−1 = x i−1 } > 0.
Par suite,
(3.3) P{X 1 = x 1 , . . . , X i = x i } = q i (x 1 , . . . , x i ) · · · q 2 (x 1 , x 2 )p 1 (x 1 ).
Si i + 1 = n + 1, la relation (3.2) est v´ erifi´ ee. Si i + 1 ≤ n, on obtient :
P{X 1 = x 1 , . . . , X i+1 = x i+1 }
= P{X i+1 = x i+1 | X 1 = x 1 , . . . , X i = x i }P{X 1 = x 1 , . . . , X i = x i }
= q i+1 (x 1 , . . . , x i+1 )P{X 1 = x 1 , . . . , X i = x i } = 0.
D’o` u
P{X 1 = x 1 , . . . , X n = x n } = 0.
La relation (3.2) est donc encore v´ erifi´ ee.
V´ erifions, enfin, que la relation (3.2) d´ efinit bien une mesure de probabilit´ e
sur (Ω, P(Ω)) et que cette mesure satisfait les relations (i) et (ii). Remarquons, tout d’abord, que l’´ ev` enement {X 1 = x 1 , . . . , X n = x n } n’est autre
que le singleton {(x 1 , . . . , x n )} de Ω, auquel on attache une pond´ eration par
la formule (3.2). Soit i fix´ e tel que 1 ≤ i ≤ n. En sommant les deux membres de la formule (3.2) successivement par rapport `
a x n , . . . , x i+1 et en
utilisant les propri´ et´ es (3.1), on obtient la formule (3.3). La relation (i) est
donc, en particulier, v´ erifi´ ee. Maintenant, si P{X 1 = x 1 , . . . , X i = x i } > 0,
la formule (3.3) implique imm´ ediatement la relation (ii), par d´ efinition mˆ eme
de la probabilit´ e conditionnelle.
4. ´
Ev` enements ind´ ependants. — Soient A et B deux ´ ev` enements,
tous deux de probabilit´ e non nulle. En g´ en´ eral, P(A | B) = P(AB)/P(B) est
diff´ erent de P(A). Si P(A | B) = P(A), on dit que A est ind´ ependant de B.
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ENEMENTS IND ´
EPENDANTS
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D´ emonstration. — V´ erifions d’abord que si une telle mesure P existe, elle
satisfait n´ ecessairement la relation (3.2). Consid´ erons, en effet, un ´ el´ ement
ω = (x 1 , . . . , x n ) de Ω. Si p 1 (x 1 ) = 0, alors P{X 1 = x 1 } = 0, ce qui
entraˆ ıne P{X 1 = x 1 , . . . , X n = x n } = 0. La relation (3.2) est donc v´ erifi´ ee.
Maintenant, si p 1 (x 1 ) > 0, notons x n+1 un ´ el´ ement fix´ e de S et posons, par
commodit´ e, q n+1 (x 1 , . . . , x n , x n+1 ) = 0. On peut alors d´ esigner par i + 1 le
plus petit entier tel que 2 ≤ i + 1 ≤ n + 1 et q i+1 (x 1 , . . . , x i+1 ) = 0. On a
alors, successivement,
P{X 1 = x 1 , X 2 = x 2 } = P{X 2 = x 2 | X 1 = x 1 }P{X 1 = x 1 }
= q 2 (x 1 , x 2 )p 1 (x 1 ) > 0,
· · · = · · ·
P{X 1 = x 1 , . . . , X i = x i } = P{X i = x i | X 1 = x 1 , . . . , X i−1 = x i−1 }
× P{X 1 = x 1 , . . . , X i−1 = x i−1 }
= q i (x 1 , . . . , x i )
× P{X 1 = x 1 , . . . , X i−1 = x i−1 } > 0.
Par suite,
(3.3) P{X 1 = x 1 , . . . , X i = x i } = q i (x 1 , . . . , x i ) · · · q 2 (x 1 , x 2 )p 1 (x 1 ).
Si i + 1 = n + 1, la relation (3.2) est v´ erifi´ ee. Si i + 1 ≤ n, on obtient :
P{X 1 = x 1 , . . . , X i+1 = x i+1 }
= P{X i+1 = x i+1 | X 1 = x 1 , . . . , X i = x i }P{X 1 = x 1 , . . . , X i = x i }
= q i+1 (x 1 , . . . , x i+1 )P{X 1 = x 1 , . . . , X i = x i } = 0.
D’o` u
P{X 1 = x 1 , . . . , X n = x n } = 0.
La relation (3.2) est donc encore v´ erifi´ ee.
V´ erifions, enfin, que la relation (3.2) d´ efinit bien une mesure de probabilit´ e
sur (Ω, P(Ω)) et que cette mesure satisfait les relations (i) et (ii). Remarquons, tout d’abord, que l’´ ev` enement {X 1 = x 1 , . . . , X n = x n } n’est autre
que le singleton {(x 1 , . . . , x n )} de Ω, auquel on attache une pond´ eration par
la formule (3.2). Soit i fix´ e tel que 1 ≤ i ≤ n. En sommant les deux membres de la formule (3.2) successivement par rapport `
a x n , . . . , x i+1 et en
utilisant les propri´ et´ es (3.1), on obtient la formule (3.3). La relation (i) est
donc, en particulier, v´ erifi´ ee. Maintenant, si P{X 1 = x 1 , . . . , X i = x i } > 0,
la formule (3.3) implique imm´ ediatement la relation (ii), par d´ efinition mˆ eme
de la probabilit´ e conditionnelle.
4. ´
Ev` enements ind´ ependants. — Soient A et B deux ´ ev` enements,
tous deux de probabilit´ e non nulle. En g´ en´ eral, P(A | B) = P(AB)/P(B) est
diff´ erent de P(A). Si P(A | B) = P(A), on dit que A est ind´ ependant de B.