56 CHAPITRE 6 : PROBABILIT ´
ES CONDITIONNELLES. IND ´
EPENDANCE
d’autre part. Ces probabilit´ es peuvent ˆ etre fournies par des exp´ erimentations
ant´ erieures : prenons, par exemple, P(B | A 1 ) = 0, 99, P(B | A 2 ) = 0, 001 (les
tests ne sont pas infaillibles). On trouve alors :
P(A 1 | B) =
10
−4
× 0, 99
10 −4 × 0, 99 + 0, 9999 × 0, 001
≈ 0, 09.
On est surpris de la petitesse de cette probabilit´ e. Elle est due au grand
nombre d’erreurs de diagnostic provenant de la proportion ´ enorme de gens
non atteints du sida dans la population (P(A 2 ) >> P(A 1 )). Le d´ epistage
d’une maladie coˆ ute cher.
3. Syst` emes de probabilit´ es conditionnelles. — Dans beaucoup de
situations, l’exp´ erience fournit un syst` eme de probabilit´ es conditionnelles sur
des ensembles de suites d’´ epreuves et il s’agit de voir comment on peut en
d´ eduire une probabilit´ e sur l’ensemble de toutes ces suites. On donne ici un
r´ esultat sur les suites finies. Au chap. 10, exercices 1-9, on ´ etendra ce r´ esultat
au cas des suites infinies.
Supposons donn´ es un entier n ≥ 2 et un ensemble fini ou d´ enombrable S.
Formons l’ensemble (fondamental) Ω = S
n et pour tout entier i = 1, 2, . . . , n
d´ efinissons la projection X i : Ω → S, comme ´ etant la fonction qui `
a tout
´ el´ ement ω = (x 1 , x 2 , . . . , x n ) de Ω fait correspondre sa i
i` eme coordonn´ ee x i ,
soit
X i (ω) = x i .
Dans beaucoup de situations, la suite (x 1 , x 2 , . . . , x n ) est la suite des valeurs
prises par un syst` eme al´ eatoire ´ evoluant au cours du temps (ici discret).
La variable al´ eatoire X i est interpr´ et´ ee comme ´ etant l’´ etat du syst` eme ` a
l’instant i.
Dans le th´ eor` eme suivant, on suppose donn´ ees une mesure de probabilit´ e
p 1 sur S et une suite de fonctions r´ eelles positives q 2 , . . . , q n , respectivement
d´ efinies sur S
2 , . . . , S
n et satisfaisant, pour tout i = 2, . . . , n et toute suite
(x 1 , . . . , x i−1 ) de S
i−1 , aux relations :
(3.1)
x∈S
q i (x 1 , . . . , x i−1 , x) = 1.
Th´ eor` eme 3.1. — La mesure de probabilit´ e p 1 sur S et la famille
(q i ) satisfaisant aux relations (3.1) ´ etant donn´ ees, il existe une et une seule
mesure de probabilit´ e P sur (Ω, P(Ω)) satisfaisant aux propri´ et´ es suivantes :
(i) P{X 1 = x 1 } = p 1 (x 1 ), pour tout x 1 ∈ S ;
(ii) P{X i+1 = x i+1 | X 1 = x 1 , . . . , X i = x i } = q i+1 (x 1 , . . . , x i , x i+1 ),
pour tout i = 1, . . . , n − 1 et tout (x 1 , . . . , x i , x i+1 ) ∈ S
i+1 tel que P{X 1 =
x 1 , . . . , X i = x i } > 0. On a alors, pour tout (x 1 , . . . , x n ) ∈ S
n , l’identit´ e :
(3.2)
P{X 1 = x 1 , . . . , X n = x n } = q n (x 1 , . . . , x n ) · · · q 2 (x 1 , x 2 )p 1 (x 1 ).
ES CONDITIONNELLES. IND ´
EPENDANCE
d’autre part. Ces probabilit´ es peuvent ˆ etre fournies par des exp´ erimentations
ant´ erieures : prenons, par exemple, P(B | A 1 ) = 0, 99, P(B | A 2 ) = 0, 001 (les
tests ne sont pas infaillibles). On trouve alors :
P(A 1 | B) =
10
−4
× 0, 99
10 −4 × 0, 99 + 0, 9999 × 0, 001
≈ 0, 09.
On est surpris de la petitesse de cette probabilit´ e. Elle est due au grand
nombre d’erreurs de diagnostic provenant de la proportion ´ enorme de gens
non atteints du sida dans la population (P(A 2 ) >> P(A 1 )). Le d´ epistage
d’une maladie coˆ ute cher.
3. Syst` emes de probabilit´ es conditionnelles. — Dans beaucoup de
situations, l’exp´ erience fournit un syst` eme de probabilit´ es conditionnelles sur
des ensembles de suites d’´ epreuves et il s’agit de voir comment on peut en
d´ eduire une probabilit´ e sur l’ensemble de toutes ces suites. On donne ici un
r´ esultat sur les suites finies. Au chap. 10, exercices 1-9, on ´ etendra ce r´ esultat
au cas des suites infinies.
Supposons donn´ es un entier n ≥ 2 et un ensemble fini ou d´ enombrable S.
Formons l’ensemble (fondamental) Ω = S
n et pour tout entier i = 1, 2, . . . , n
d´ efinissons la projection X i : Ω → S, comme ´ etant la fonction qui `
a tout
´ el´ ement ω = (x 1 , x 2 , . . . , x n ) de Ω fait correspondre sa i
i` eme coordonn´ ee x i ,
soit
X i (ω) = x i .
Dans beaucoup de situations, la suite (x 1 , x 2 , . . . , x n ) est la suite des valeurs
prises par un syst` eme al´ eatoire ´ evoluant au cours du temps (ici discret).
La variable al´ eatoire X i est interpr´ et´ ee comme ´ etant l’´ etat du syst` eme ` a
l’instant i.
Dans le th´ eor` eme suivant, on suppose donn´ ees une mesure de probabilit´ e
p 1 sur S et une suite de fonctions r´ eelles positives q 2 , . . . , q n , respectivement
d´ efinies sur S
2 , . . . , S
n et satisfaisant, pour tout i = 2, . . . , n et toute suite
(x 1 , . . . , x i−1 ) de S
i−1 , aux relations :
(3.1)
x∈S
q i (x 1 , . . . , x i−1 , x) = 1.
Th´ eor` eme 3.1. — La mesure de probabilit´ e p 1 sur S et la famille
(q i ) satisfaisant aux relations (3.1) ´ etant donn´ ees, il existe une et une seule
mesure de probabilit´ e P sur (Ω, P(Ω)) satisfaisant aux propri´ et´ es suivantes :
(i) P{X 1 = x 1 } = p 1 (x 1 ), pour tout x 1 ∈ S ;
(ii) P{X i+1 = x i+1 | X 1 = x 1 , . . . , X i = x i } = q i+1 (x 1 , . . . , x i , x i+1 ),
pour tout i = 1, . . . , n − 1 et tout (x 1 , . . . , x i , x i+1 ) ∈ S
i+1 tel que P{X 1 =
x 1 , . . . , X i = x i } > 0. On a alors, pour tout (x 1 , . . . , x n ) ∈ S
n , l’identit´ e :
(3.2)
P{X 1 = x 1 , . . . , X n = x n } = q n (x 1 , . . . , x n ) · · · q 2 (x 1 , x 2 )p 1 (x 1 ).