2. SYST `
EMES COMPLETS D’ ´
EV `
ENEMENTS
55
Th´ eor` eme 2.1 (Formule de Bayes). — Soit (A n ) un syst` eme complet
d’´ ev` enements, tous de probabilit´ e non nulle. Alors, pour tout ´ ev` enement B,
on a :
P(B) =
n
P(B | A n )P(A n ) ;
si, de plus, P(B) > 0, on a, pour tout entier k, l’identit´ e :
P(A k | B) =
P(B | A k )P(A k )
n P(B | A n )P(A n )
.
D´ emonstration. — En posant Ω
=
n A n , on a, pour tout ´ ev` enement
B, les relations : BΩ
=
n BA n et P(BΩ
c ) = 0. D’o` u P(B) = P(BΩ
) +
P(BΩ
c ) = P(
n BA n ) =
n P(BA n ) =
n P(B | A n )P(A n ). Enfin,
P(A k | B) =
P(BA k )
P(B)
=
P(B | A k )P(A k )
n P(B | A n )P(A n )
.
Exemple (le probl` eme du tricheur). — Un joueur joue `
a pile ou face, il
parie sur pile et obtient pile. Quelle est la probabilit´ e qu’il soit un tricheur ?
Peut-on r´ epondre `
a une telle question ?
Notons Ω l’ensemble de toutes les ´ epreuves et soient p, f , h, t, les
´ ev` enements le r´ esultat est pile , le r´ esultat est face , le joueur est
honnˆ ete , le joueur est un tricheur , respectivement. Pour probabiliser l’ensemble {p, f, h, t}, on peut d’abord convenir que l’on a P(p | h) = P(f | h) =
1/2. On peut ´ egalement convenir que P(p | t) est ´ egal ` a 1 (le tricheur obtient
pile ` a la demande) et donc P(f | t) = 0. On peut poser enfin P(t) = x
(0 ≤ x ≤ 1). De la formule de Bayes, on d´ eduit :
P(t | p) =
P(p | t)P(t)
P(p | t)P(t) + P(p | h)P(h)
=
x
x + (1/2)(1 − x)
=
2x
x + 1
.
On ne peut donc apporter une r´ eponse num´ erique `
a ce probl` eme que si l’on
sait ´ evaluer la proportion x de tricheurs dans la population. On obtient ainsi
une r´ eponse plus ou moins r´ econfortante, suivant l’opinion que l’on a de
l’honnˆ etet´ e de son prochain !
Exemple. — Un individu est tir´ e au hasard d’une population o` u l’on trouve
une proportion de 10
−4 de gens atteints du sida. On lui fait passer le test de
d´ etection de la maladie. Sachant que le test donne un r´ esultat positif, quelle
est la probabilit´ e pour qu’il ait effectivement le sida ?
Consid´ erons les ´ ev` enements A 1 l’individu est atteint du sida , puis A 2
l’individu n’est pas atteint du sida , enfin B le test de d´ etection donne
un r´ esultat positif . Les donn´ ees du probl` eme fournissent P(A 1 ) = 10
−4 ,
d’o` u P(A 2 ) = 0, 9999. Or il faut encore connaˆ ıtre P(B | A 1 ) et P(B | A 2 ),
c’est-` a-dire les probabilit´ es d’avoir un r´ esultat positif lors de l’application du
test si l’individu est atteint du sida, d’une part, et si l’individu ne l’est pas,
EMES COMPLETS D’ ´
EV `
ENEMENTS
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Th´ eor` eme 2.1 (Formule de Bayes). — Soit (A n ) un syst` eme complet
d’´ ev` enements, tous de probabilit´ e non nulle. Alors, pour tout ´ ev` enement B,
on a :
P(B) =
n
P(B | A n )P(A n ) ;
si, de plus, P(B) > 0, on a, pour tout entier k, l’identit´ e :
P(A k | B) =
P(B | A k )P(A k )
n P(B | A n )P(A n )
.
D´ emonstration. — En posant Ω
=
n A n , on a, pour tout ´ ev` enement
B, les relations : BΩ
=
n BA n et P(BΩ
c ) = 0. D’o` u P(B) = P(BΩ
) +
P(BΩ
c ) = P(
n BA n ) =
n P(BA n ) =
n P(B | A n )P(A n ). Enfin,
P(A k | B) =
P(BA k )
P(B)
=
P(B | A k )P(A k )
n P(B | A n )P(A n )
.
Exemple (le probl` eme du tricheur). — Un joueur joue `
a pile ou face, il
parie sur pile et obtient pile. Quelle est la probabilit´ e qu’il soit un tricheur ?
Peut-on r´ epondre `
a une telle question ?
Notons Ω l’ensemble de toutes les ´ epreuves et soient p, f , h, t, les
´ ev` enements le r´ esultat est pile , le r´ esultat est face , le joueur est
honnˆ ete , le joueur est un tricheur , respectivement. Pour probabiliser l’ensemble {p, f, h, t}, on peut d’abord convenir que l’on a P(p | h) = P(f | h) =
1/2. On peut ´ egalement convenir que P(p | t) est ´ egal ` a 1 (le tricheur obtient
pile ` a la demande) et donc P(f | t) = 0. On peut poser enfin P(t) = x
(0 ≤ x ≤ 1). De la formule de Bayes, on d´ eduit :
P(t | p) =
P(p | t)P(t)
P(p | t)P(t) + P(p | h)P(h)
=
x
x + (1/2)(1 − x)
=
2x
x + 1
.
On ne peut donc apporter une r´ eponse num´ erique `
a ce probl` eme que si l’on
sait ´ evaluer la proportion x de tricheurs dans la population. On obtient ainsi
une r´ eponse plus ou moins r´ econfortante, suivant l’opinion que l’on a de
l’honnˆ etet´ e de son prochain !
Exemple. — Un individu est tir´ e au hasard d’une population o` u l’on trouve
une proportion de 10
−4 de gens atteints du sida. On lui fait passer le test de
d´ etection de la maladie. Sachant que le test donne un r´ esultat positif, quelle
est la probabilit´ e pour qu’il ait effectivement le sida ?
Consid´ erons les ´ ev` enements A 1 l’individu est atteint du sida , puis A 2
l’individu n’est pas atteint du sida , enfin B le test de d´ etection donne
un r´ esultat positif . Les donn´ ees du probl` eme fournissent P(A 1 ) = 10
−4 ,
d’o` u P(A 2 ) = 0, 9999. Or il faut encore connaˆ ıtre P(B | A 1 ) et P(B | A 2 ),
c’est-` a-dire les probabilit´ es d’avoir un r´ esultat positif lors de l’application du
test si l’individu est atteint du sida, d’une part, et si l’individu ne l’est pas,