54 CHAPITRE 6 : PROBABILIT ´
ES CONDITIONNELLES. IND ´
EPENDANCE
On l’appelle mesure de probabilit´ e A-conditionnelle ou mesure de probabilit´ e conditionnelle, A ´ etant donn´ e.
D´ emonstration. — Tout d’abord, on a bien P(Ω | A) =
P(Ω ∩ A)
P(A)
= 1.
D’autre part, si (B n ) d´ esigne une suite d’´ ev` enements disjoints deux `
a deux,
alors (A ∩ B n ) est aussi une suite d’´ ev` enements disjoints deux `
a deux. De l` a
P(
n
B n | A) =
P(A ∩
n B n )
P(A)
=
P(
n A ∩ B n )
P(A)
=
n P(A ∩ B n )
P(A)
=
n
P(A ∩ B n )
P(A)
=
n
P(B n | A).
Ainsi P(· | A) est bien une mesure de probabilit´ e.
Notons que la mesure de probabilit´ e A-conditionnelle est port´ ee par A ; en
d’autres termes, on a les relations :
AB = ∅ ⇒ P(B | A) = 0 et B ⊃ A ⇒ P(B | A) = 1.
Proposition 1.2 (Formule du double conditionnement). — Soient A 1
et A 2 des ´ ev` enements tels que la probabilit´ e P(A 1 A 2 ) soit strictement positive.
Alors, pour tout ´ ev` enement A 3 , on a la relation :
P(A 1 A 2 A 3 ) = P(A 3 | A 1 A 2 )P(A 2 | A 1 )P(A 1 ).
D´ emonstration. — L’identit´ e ci-dessus r´ esulte imm´ ediatement de la d´ efinition de la probabilit´ e conditionnelle. On a, en effet, P(A 1 ) > 0, puisque
A 1 A 2 est de probabilit´ e strictement positive. D’o` u
P(A 1 A 2 A 3 ) = P(A 3 | A 1 A 2 )P(A 1 A 2 ) = P(A 3 | A 1 A 2 )P(A 2 | A 1 )P(A 1 ).
La formule pr´ ec´ edente se g´ en´ eralise imm´ ediatement au cas d’un nombre
d’´ ev` enements sup´ erieur `
a deux : soient n ≥ 2 et A 1 , A 2 , . . . , A n une suite de
n ´ ev` enements tels que P(A 1 A 2 . . . A n−1 ) > 0 ; on a l’identit´ e :
(1.2) P(A 1 A 2 . . . A n )
= P(A n | A 1 . . . A n−1 )P(A n−1 | A 1 . . . A n−2 ) · · · P(A 2 | A 1 )P(A 1 ).
2. Syst` emes complets d’´ ev` enements. — On dit qu’une suite (A n )
d’´ ev` enements est un syst` eme complet, si
(i) i = j ⇒ A i A j = ∅ (les ´ ev` enements A n sont deux `
a deux incompatibles) ;
(ii) P(
n A n ) =
n P(A n ) = 1 (presque sˆ urement l’un des ´ ev` enements A n
se r´ ealise).
En particulier, toute partition d´ enombrable de Ω en ´ el´ ements de A forme
un syst` eme complet. Dans la pr´ ec´ edente d´ efinition, on impose seulement que
la probabilit´ e de l’´ ev` enement contraire ` a
n A n soit nulle. Cet ´ ev` enement
n’est pas n´ ecessairement impossible.
ES CONDITIONNELLES. IND ´
EPENDANCE
On l’appelle mesure de probabilit´ e A-conditionnelle ou mesure de probabilit´ e conditionnelle, A ´ etant donn´ e.
D´ emonstration. — Tout d’abord, on a bien P(Ω | A) =
P(Ω ∩ A)
P(A)
= 1.
D’autre part, si (B n ) d´ esigne une suite d’´ ev` enements disjoints deux `
a deux,
alors (A ∩ B n ) est aussi une suite d’´ ev` enements disjoints deux `
a deux. De l` a
P(
n
B n | A) =
P(A ∩
n B n )
P(A)
=
P(
n A ∩ B n )
P(A)
=
n P(A ∩ B n )
P(A)
=
n
P(A ∩ B n )
P(A)
=
n
P(B n | A).
Ainsi P(· | A) est bien une mesure de probabilit´ e.
Notons que la mesure de probabilit´ e A-conditionnelle est port´ ee par A ; en
d’autres termes, on a les relations :
AB = ∅ ⇒ P(B | A) = 0 et B ⊃ A ⇒ P(B | A) = 1.
Proposition 1.2 (Formule du double conditionnement). — Soient A 1
et A 2 des ´ ev` enements tels que la probabilit´ e P(A 1 A 2 ) soit strictement positive.
Alors, pour tout ´ ev` enement A 3 , on a la relation :
P(A 1 A 2 A 3 ) = P(A 3 | A 1 A 2 )P(A 2 | A 1 )P(A 1 ).
D´ emonstration. — L’identit´ e ci-dessus r´ esulte imm´ ediatement de la d´ efinition de la probabilit´ e conditionnelle. On a, en effet, P(A 1 ) > 0, puisque
A 1 A 2 est de probabilit´ e strictement positive. D’o` u
P(A 1 A 2 A 3 ) = P(A 3 | A 1 A 2 )P(A 1 A 2 ) = P(A 3 | A 1 A 2 )P(A 2 | A 1 )P(A 1 ).
La formule pr´ ec´ edente se g´ en´ eralise imm´ ediatement au cas d’un nombre
d’´ ev` enements sup´ erieur `
a deux : soient n ≥ 2 et A 1 , A 2 , . . . , A n une suite de
n ´ ev` enements tels que P(A 1 A 2 . . . A n−1 ) > 0 ; on a l’identit´ e :
(1.2) P(A 1 A 2 . . . A n )
= P(A n | A 1 . . . A n−1 )P(A n−1 | A 1 . . . A n−2 ) · · · P(A 2 | A 1 )P(A 1 ).
2. Syst` emes complets d’´ ev` enements. — On dit qu’une suite (A n )
d’´ ev` enements est un syst` eme complet, si
(i) i = j ⇒ A i A j = ∅ (les ´ ev` enements A n sont deux `
a deux incompatibles) ;
(ii) P(
n A n ) =
n P(A n ) = 1 (presque sˆ urement l’un des ´ ev` enements A n
se r´ ealise).
En particulier, toute partition d´ enombrable de Ω en ´ el´ ements de A forme
un syst` eme complet. Dans la pr´ ec´ edente d´ efinition, on impose seulement que
la probabilit´ e de l’´ ev` enement contraire ` a
n A n soit nulle. Cet ´ ev` enement
n’est pas n´ ecessairement impossible.