CHAPITRE 6
PROBABILIT ´
ES CONDITIONNELLES. IND ´
EPENDANCE
Ce chapitre est consacr´ e tout d’abord `
a l’´ etude des mesures de probabilit´ e
conditionnelles, un ´ ev` enement A ´ etant donn´ e. C’est le cas dit ´ el´ ementaire
´ etudi´ e dans tous les ouvrages d’initiation aux probabilit´ es. On trouve ´ egalement dans ce chapitre une ´ etude de l’ind´ ependance, non seulement des
´ ev` enements, mais aussi des classes d’´ ev` enements. On y introduit aussi la
notion importante de suites de variables al´ eatoires mutuellement ind´ ependantes.
1. Probabilit´ e conditionnelle. — Supposons que les faces paires d’un
d´ e ` a six faces soient color´ ees en blanc et les faces impaires en noir. On lance
ce d´ e ; de loin on se rend compte qu’une face blanche est apparue ; quelle
est la probabilit´ e que l’on ait obtenu un six ? Chacun de nous r´ epondra 1/3,
et non pas 1/6. En effet, le fait d’avoir rep´ er´ e la face blanche a modifi´ e la
pond´ eration des ´ ev` enements. On ne peut plus prendre l’´ equir´ epartition P sur
l’ensemble Ω = {1, 2, . . . , 6} ; on se doit de donner `
a chaque nombre 2, 4, 6
la pond´ eration 1/3 et `
a chaque nombre 1, 3, 5 la pond´ eration 0. Pour rendre
compte de la nouvelle information A il est apparu un nombre pair , il faut
introduire une nouvelle pond´ eration. Notons-la P{ . | A}. Elle est d´ efinie par :
P{{i} | A} =
1/3, si i = 2, 4, 6 ;
0,
autrement.
Puisque P(A) = 1/2, on a la relation :
P{{i} | A} =
P({i} ∩ A)
P(A)
,
pour tout i = 1, 2, . . . , 6. L’exemple de ce jeu de d´ e sugg` ere de prendre la
d´ efinition ci-apr` es pour la probabilit´ e conditionnelle.
Dans tout le chapitre, on suppose donn´ e un espace probabilis´ e (Ω, A, P)
et les lettres A, B, C, . . . (avec ou sans indice) d´ esignent des ´ ev` enements (i.e.
des ´ el´ ements de la tribu A).
Th´ eor` eme et d´ efinition 1.1. — Soit A un ´ ev` enement de probabilit´ e P(A) > 0. Alors la fonction d’ensembles P{ . | A}, d´ efinie pour tout
´ ev` enement B de A par
(1.1)
P(B | A) =
P(B ∩ A)
P(A)
,
est une mesure de probabilit´ e sur (Ω, A).
PROBABILIT ´
ES CONDITIONNELLES. IND ´
EPENDANCE
Ce chapitre est consacr´ e tout d’abord `
a l’´ etude des mesures de probabilit´ e
conditionnelles, un ´ ev` enement A ´ etant donn´ e. C’est le cas dit ´ el´ ementaire
´ etudi´ e dans tous les ouvrages d’initiation aux probabilit´ es. On trouve ´ egalement dans ce chapitre une ´ etude de l’ind´ ependance, non seulement des
´ ev` enements, mais aussi des classes d’´ ev` enements. On y introduit aussi la
notion importante de suites de variables al´ eatoires mutuellement ind´ ependantes.
1. Probabilit´ e conditionnelle. — Supposons que les faces paires d’un
d´ e ` a six faces soient color´ ees en blanc et les faces impaires en noir. On lance
ce d´ e ; de loin on se rend compte qu’une face blanche est apparue ; quelle
est la probabilit´ e que l’on ait obtenu un six ? Chacun de nous r´ epondra 1/3,
et non pas 1/6. En effet, le fait d’avoir rep´ er´ e la face blanche a modifi´ e la
pond´ eration des ´ ev` enements. On ne peut plus prendre l’´ equir´ epartition P sur
l’ensemble Ω = {1, 2, . . . , 6} ; on se doit de donner `
a chaque nombre 2, 4, 6
la pond´ eration 1/3 et `
a chaque nombre 1, 3, 5 la pond´ eration 0. Pour rendre
compte de la nouvelle information A il est apparu un nombre pair , il faut
introduire une nouvelle pond´ eration. Notons-la P{ . | A}. Elle est d´ efinie par :
P{{i} | A} =
1/3, si i = 2, 4, 6 ;
0,
autrement.
Puisque P(A) = 1/2, on a la relation :
P{{i} | A} =
P({i} ∩ A)
P(A)
,
pour tout i = 1, 2, . . . , 6. L’exemple de ce jeu de d´ e sugg` ere de prendre la
d´ efinition ci-apr` es pour la probabilit´ e conditionnelle.
Dans tout le chapitre, on suppose donn´ e un espace probabilis´ e (Ω, A, P)
et les lettres A, B, C, . . . (avec ou sans indice) d´ esignent des ´ ev` enements (i.e.
des ´ el´ ements de la tribu A).
Th´ eor` eme et d´ efinition 1.1. — Soit A un ´ ev` enement de probabilit´ e P(A) > 0. Alors la fonction d’ensembles P{ . | A}, d´ efinie pour tout
´ ev` enement B de A par
(1.1)
P(B | A) =
P(B ∩ A)
P(A)
,
est une mesure de probabilit´ e sur (Ω, A).