52
CHAPITRE 5 : VARIABLES AL ´
EATOIRES
8. a) Soit X une variable al´ eatoire admettant une fonction de r´ epartition
F continue et strictement croissante. Montrer que la variable al´ eatoire U =
F ◦ X admet pour fonction de r´ epartition la fonction G d´ efinie par :
(E)
G ( u) =
0, si u < 0 ;
u, si 0 ≤ u ≤ 1 ;
1, si 1 < u.
b) Soit U une variable al´ eatoire dont la fonction de r´ epartition G est
donn´ ee par (E). Soit d’autre part une fonction de r´ epartition F dont on
d´ esigne par F
−1 la fonction inverse g´ en´ eralis´ ee (au sens de Paul L´ evy) :
F
−1 (x) = sup{y : F(y) ≤ x}.
Montrer que la variable al´ eatoire X = F
−1
◦ U admet F comme fonction de
r´ epartition.
9. — Soit X une variable al´ eatoire telle que X et 2X admettent la mˆ eme
fonction de r´ epartition F. D´ eterminer F ; que peut-on dire de X ?
10. — Soit X = (X 1 , X 2 ) un vecteur al´ eatoire ` a deux dimensions qui
prend toutes ses valeurs sur la premi` ere bissectrice. Montrer que sa fonction
de r´ epartition conjointe F(x 1 , x 2 ) est de la forme :
F(x 1 , x 2 ) = h[min(x 1 , x 2 )],
o` u h(.) est une fonction r´ eelle. R´ eciproque ?
11. — Soit X = (X 1 , . . . , X n ) un vecteur al´ eatoire ` a n dimensions d´ efini
sur un espace probabilis´ e (Ω, A, P). On d´ efinit sa fonction de r´ epartition
comme ´ etant l’application F qui envoie la suite (x 1 , . . . , x n ) de nombres
r´ eels sur le nombre P{X 1 ≤ x 1 , . . . , X n ≤ x n }. D´ emontrer les propositions
suivantes :
(i) F est une fonction croissante et continue `
a droite en chacun de ses
arguments x 1 , . . . , x n .
(ii) La limite lim F(x 1 , . . . , x n ) est ´ egale ` a 0 si l’une au moins des variables
x i tend vers −∞ et elle est ´ egale ` a 1 si toutes les variables x i tendent
vers +∞.
(iii) Si G(x 1 , . . . , x n ) est une fonction r´ eelle de n variables r´ eelles et si h est
un nombre r´ eel, l’accroissement de la fonction G, dˆ u `
a l’accroissement
h donn´ e ` a la variable x i , est d´ efini par :
∆
(i)
h G(x 1 , . . . , x n ) = G(x 1 , . . . , x i + h, . . . , x n ) − G(x 1 , . . . , x i , . . . , x n ).
Montrer que pour toute suite (h 1 , . . . , h n ) de nombres r´ eels positifs et
toute suite (x 1 , . . . , x n ) de nombres r´ eels, on a l’in´ egalit´ e :
∆
(1)
h 1
· · · ∆
(n)
h n
F(x 1 , . . . , x n ) ≥ 0.
CHAPITRE 5 : VARIABLES AL ´
EATOIRES
8. a) Soit X une variable al´ eatoire admettant une fonction de r´ epartition
F continue et strictement croissante. Montrer que la variable al´ eatoire U =
F ◦ X admet pour fonction de r´ epartition la fonction G d´ efinie par :
(E)
G ( u) =
0, si u < 0 ;
u, si 0 ≤ u ≤ 1 ;
1, si 1 < u.
b) Soit U une variable al´ eatoire dont la fonction de r´ epartition G est
donn´ ee par (E). Soit d’autre part une fonction de r´ epartition F dont on
d´ esigne par F
−1 la fonction inverse g´ en´ eralis´ ee (au sens de Paul L´ evy) :
F
−1 (x) = sup{y : F(y) ≤ x}.
Montrer que la variable al´ eatoire X = F
−1
◦ U admet F comme fonction de
r´ epartition.
9. — Soit X une variable al´ eatoire telle que X et 2X admettent la mˆ eme
fonction de r´ epartition F. D´ eterminer F ; que peut-on dire de X ?
10. — Soit X = (X 1 , X 2 ) un vecteur al´ eatoire ` a deux dimensions qui
prend toutes ses valeurs sur la premi` ere bissectrice. Montrer que sa fonction
de r´ epartition conjointe F(x 1 , x 2 ) est de la forme :
F(x 1 , x 2 ) = h[min(x 1 , x 2 )],
o` u h(.) est une fonction r´ eelle. R´ eciproque ?
11. — Soit X = (X 1 , . . . , X n ) un vecteur al´ eatoire ` a n dimensions d´ efini
sur un espace probabilis´ e (Ω, A, P). On d´ efinit sa fonction de r´ epartition
comme ´ etant l’application F qui envoie la suite (x 1 , . . . , x n ) de nombres
r´ eels sur le nombre P{X 1 ≤ x 1 , . . . , X n ≤ x n }. D´ emontrer les propositions
suivantes :
(i) F est une fonction croissante et continue `
a droite en chacun de ses
arguments x 1 , . . . , x n .
(ii) La limite lim F(x 1 , . . . , x n ) est ´ egale ` a 0 si l’une au moins des variables
x i tend vers −∞ et elle est ´ egale ` a 1 si toutes les variables x i tendent
vers +∞.
(iii) Si G(x 1 , . . . , x n ) est une fonction r´ eelle de n variables r´ eelles et si h est
un nombre r´ eel, l’accroissement de la fonction G, dˆ u `
a l’accroissement
h donn´ e ` a la variable x i , est d´ efini par :
∆
(i)
h G(x 1 , . . . , x n ) = G(x 1 , . . . , x i + h, . . . , x n ) − G(x 1 , . . . , x i , . . . , x n ).
Montrer que pour toute suite (h 1 , . . . , h n ) de nombres r´ eels positifs et
toute suite (x 1 , . . . , x n ) de nombres r´ eels, on a l’in´ egalit´ e :
∆
(1)
h 1
· · · ∆
(n)
h n
F(x 1 , . . . , x n ) ≥ 0.