COMPL ´
EMENTS ET EXERCICES
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D´ emonstration. — Par d´ efinition mˆ eme de la mesurabilit´ e, une sous-tribu
T de A rend X mesurable, si et seulement si l’on a X
−1 (B
n ) ⊂ T. En
particulier, on a X
−1 (B
n ) ⊂ T(X). L’inclusion inverse est aussi vraie, car
X
−1 (B
n ) rend ´ evidemment X mesurable.
COMPL ´
EMENTS ET EXERCICES
1. — Exprimer les indicatrices de A 1 ∪ A 2 , A 1 ∩ A 2 , A 1 \ A 2 , A 1 ∆ A 2
(diff´ erence sym´ etrique), lim sup n A n , lim inf n A n en fonction des indicatrices
de A 1 , A 2 , A n , (n ≥ 1).
2. — Montrer qu’une fonction r´ eelle X d´ efinie sur un espace mesurable
(Ω, A) est mesurable, si et seulement si l’ensemble {ω ∈ Ω : X(ω) ≤ r}
appartient `
a A pour tout r rationnel.
3. — Soit (X n ) une suite de fonctions r´ eelles mesurables d´ efinies sur un
espace mesurable (Ω, A). Montrer que l’ensemble des ´ el´ ements ω de Ω pour
lesquels la suite (X n (ω)) est convergente est mesurable.
4. — Soit H a la fonction de r´ epartition de la mesure de probabilit´ e
singuli` ere a sur la droite R. Donner l’expression de H a ( H comme
Heaviside).
5. — Soient a et b deux nombres r´ eels. D´ eterminer la fonction de
r´ epartition de Y = aX + b.
6. — Si F est une fonction de r´ epartition continue et si h est un nombre
strictement positif, montrer que
Φ h (x) =
1
h
x+h
x
F(t) dt
est aussi une fonction de r´ epartition.
7. — Soit (a n ) n≥1 une num´ erotation de l’ensemble Q des nombres
rationnels. On consid` ere une variable al´ eatoire discr` ete X dont le support S X
est Q et dont la fonction de masse est : π(x) = 0, si x ∈ R\Q et π(a n ) = 1/2
n
pour a n ∈ Q (n ≥ 1). La fonction de r´ epartition F de X est donn´ ee par :
F(x) = P{X ≤ x} =
a n ≤x
1
2 n =
n≥1
1
2 n H a n (x).
Il en r´ esulte que F a toutes les propri´ et´ es d’une fonction de r´ epartition, et
que ses seuls points de discontinuit´ e sont les rationnels.