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CHAPITRE 5 : VARIABLES AL ´
EATOIRES
a) La fonction F est continue au point x ∈ R, si et seulement si π(x) = 0.
b) La fonction F est continue sur tout R, si et seulement si D X = ∅ ;
on dit alors que la loi de probabilit´ e de X est diffuse.
c) L’ensemble D X est fini ou d´ enombrable ; en d’autres termes, l’ensemble des points de discontinuit´ e de F est fini ou d´ enombrable.
D´ emonstration. — Les propri´ et´ es a) et b) sont ´ evidentes ; pour d´ emontrer c) posons : A n = {x ∈ R : π(x) ≥ 1/n}. Comme π(x) repr´ esente la hauteur du saut de F au point x, et que F est croissante, de variation totale ´ egale
` a 1, l’ensemble A n contient au plus n ´ el´ ements. En outre, D X =
n≥1 A n .
Comme une r´ eunion finie ou d´ enombrable d’ensembles finis ou d´ enombrables
est encore finie ou d´ enombrable, la propri´ et´ e est d´ emontr´ ee.
D´ efinition. — Soient X une variable al´ eatoire r´ eelle et π(.) sa fonction
de masse. On a vu que D X est fini ou d´ enombrable ; on peut donc effectuer
la somme
x∈D X
π(x). Si cette somme est ´ egale ` a 1, on dit que la variable
al´ eatoire X est discr` ete et que D X est son support ; nous d´ esignerons par la
suite ce support par S X .
Remarque. — Le support d’une variable al´ eatoire discr` ete peut ˆ etre
partout dense, par exemple S X = Q. Dans ce cas, la fonction de r´ epartition
ne peut plus ˆ etre repr´ esent´ ee par une fonction en escalier ´ el´ ementaire (cf.
Exercice 7).
Proposition 6.3. — Soient X une variable al´ eatoire, P X sa loi de
probabilit´ e, F sa fonction de r´ epartition et π(.) sa fonction de masse. Alors
on a, pour −∞ < a < b < +∞, les relations :
P X ( ] − ∞, a] ) = F(a) ;
P X ( ] − ∞, a[ ) = F(a − 0) = F(a) − π(a) ;
P X ( ]a, +∞[ ) = 1 − F(a) ;
P X ( [a, +∞[ ) = 1 − F(a − 0) = 1 − F(a) + π(a) ;
P X ( ]a, b] ) = F(b) − F(a) ;
P X ( [a, b] ) = F(b) − F(a − 0) = F(b) − F(a) + π(a) ;
P X ( ]a, b[ ) = F(b − 0) − F(a) = F(b) − F(a) − π(a) ;
P X ( [a, b[ ) = F(b − 0) − F(a − 0) =
F(b) − F(a)
−
π(b) − π(a)
.
La v´ erification de toutes ces propri´ et´ es ne pr´ esente aucune difficult´ e.
7. Tribu engendr´ ee par une variable al´ eatoire. — Soit X une
variable al´ eatoire ` a n dimensions, d´ efinie sur un espace probabilis´ e (Ω, A, P).
On appelle tribu engendr´ ee par X la tribu not´ ee T(X), d´ efinie comme la plus
petite tribu contenue dans A rendant X mesurable.
Proposition 7.1. — On a T(X) = X
−1 (B
n ).
CHAPITRE 5 : VARIABLES AL ´
EATOIRES
a) La fonction F est continue au point x ∈ R, si et seulement si π(x) = 0.
b) La fonction F est continue sur tout R, si et seulement si D X = ∅ ;
on dit alors que la loi de probabilit´ e de X est diffuse.
c) L’ensemble D X est fini ou d´ enombrable ; en d’autres termes, l’ensemble des points de discontinuit´ e de F est fini ou d´ enombrable.
D´ emonstration. — Les propri´ et´ es a) et b) sont ´ evidentes ; pour d´ emontrer c) posons : A n = {x ∈ R : π(x) ≥ 1/n}. Comme π(x) repr´ esente la hauteur du saut de F au point x, et que F est croissante, de variation totale ´ egale
` a 1, l’ensemble A n contient au plus n ´ el´ ements. En outre, D X =
n≥1 A n .
Comme une r´ eunion finie ou d´ enombrable d’ensembles finis ou d´ enombrables
est encore finie ou d´ enombrable, la propri´ et´ e est d´ emontr´ ee.
D´ efinition. — Soient X une variable al´ eatoire r´ eelle et π(.) sa fonction
de masse. On a vu que D X est fini ou d´ enombrable ; on peut donc effectuer
la somme
x∈D X
π(x). Si cette somme est ´ egale ` a 1, on dit que la variable
al´ eatoire X est discr` ete et que D X est son support ; nous d´ esignerons par la
suite ce support par S X .
Remarque. — Le support d’une variable al´ eatoire discr` ete peut ˆ etre
partout dense, par exemple S X = Q. Dans ce cas, la fonction de r´ epartition
ne peut plus ˆ etre repr´ esent´ ee par une fonction en escalier ´ el´ ementaire (cf.
Exercice 7).
Proposition 6.3. — Soient X une variable al´ eatoire, P X sa loi de
probabilit´ e, F sa fonction de r´ epartition et π(.) sa fonction de masse. Alors
on a, pour −∞ < a < b < +∞, les relations :
P X ( ] − ∞, a] ) = F(a) ;
P X ( ] − ∞, a[ ) = F(a − 0) = F(a) − π(a) ;
P X ( ]a, +∞[ ) = 1 − F(a) ;
P X ( [a, +∞[ ) = 1 − F(a − 0) = 1 − F(a) + π(a) ;
P X ( ]a, b] ) = F(b) − F(a) ;
P X ( [a, b] ) = F(b) − F(a − 0) = F(b) − F(a) + π(a) ;
P X ( ]a, b[ ) = F(b − 0) − F(a) = F(b) − F(a) − π(a) ;
P X ( [a, b[ ) = F(b − 0) − F(a − 0) =
F(b) − F(a)
−
π(b) − π(a)
.
La v´ erification de toutes ces propri´ et´ es ne pr´ esente aucune difficult´ e.
7. Tribu engendr´ ee par une variable al´ eatoire. — Soit X une
variable al´ eatoire ` a n dimensions, d´ efinie sur un espace probabilis´ e (Ω, A, P).
On appelle tribu engendr´ ee par X la tribu not´ ee T(X), d´ efinie comme la plus
petite tribu contenue dans A rendant X mesurable.
Proposition 7.1. — On a T(X) = X
−1 (B
n ).