6. LA FONCTION DE MASSE
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La Proposition 5.1 admet une r´ eciproque, qui sera d´ emontr´ ee au chap. 10
(Th´ eor` eme 3.1), que nous ´ enon¸ cons ici sous la forme suivante.
Proposition 5.2. — A toute fonction de r´ epartition F correspond une et
une seule mesure de probabilit´ e P sur (R, B
1 ), satisfaisant `
a P( ] − ∞, x] ) =
F(x) pour tout x r´ eel.
Remarque. — On peut aussi d´ efinir une fonction de r´ epartition F associ´ ee
` a un vecteur al´ eatoire X = (X 1 , X 2 , . . . , X n ) `
a n dimensions. Il suffit de
poser :
F(x 1 , x 2 , . . . , x n ) = P{X 1 ≤ x 1 , X 2 ≤ x 2 , . . . , X n ≤ x n }.
On obtient ainsi une fonction r´ eelle, ` a valeurs dans [0, 1], de n variables r´ eelles.
Les propri´ et´ es de cette fonction de r´ epartition (conjointe) sont ´ etudi´ ees dans
l’exercice 11.
6. La fonction de masse et les discontinuit´ es de la fonction de
r´ epartition. — Soient X : (Ω, A, P) → (R, B
1 ) une variable al´ eatoire r´ eelle
et F sa fonction de r´ epartition. On sait que pour tout x ∈ R on a {x} ∈ B
1 ,
de sorte que P{X = x} est d´ efini pour tout x.
D´ efinition. — On appelle fonction de masse de X l’application π(.) : R →
R
+ d´ efinie par π(x) = P{X = x}.
Proposition 6.1. — La fonction de masse π(.) est enti` erement d´ etermin´ ee par la loi de probabilit´ e, donc par la fonction de r´ epartition F. Pour
tout x ∈ R, on a : π(x) = F(x) − F(x − 0) = F(x + 0) − F(x − 0). Le nombre
π(x) est la hauteur du saut de F en x.
D´ emonstration. — Soit x ∈ R et (x n ) n≥1 une suite croissante de r´ eels tels
que pour tout n ≥ 1 on ait x n < x et x n ↑ x. Pout tout n ≥ 1 on a la relation
]−∞, x] = ]−∞, x n ] ∪ ]x n , x] ,
d’o` u, en prenant la probabilit´ e P X des deux cˆ ot´ es :
F(x) = F(x n ) + P X ( ]x n , x] ).
Passant `
a la limite pour n → ∞, on observe que :
(i) la suite (F(x n )) n≥1 est croissante born´ ee, elle tend donc vers une
limite not´ ee F(x − 0) ;
(ii) la suite d’ensembles ( ]x n , x] ) n≥1 est d´ ecroissante, sa limite est
n≥1 ]x n , x] = {x} ; d’o` u lim n P X ( ]x n , x] ) = P X ({x}) = P X {X = x} = π(x).
On obtient finalement : F(x) = F(x − 0) + π(x).
Proposition 6.2. — Soient X une variable al´ eatoire, F sa fonction de
r´ epartition, π(.) sa fonction de masse. Posons :
D X = {x ∈ R : π(x) > 0}.
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La Proposition 5.1 admet une r´ eciproque, qui sera d´ emontr´ ee au chap. 10
(Th´ eor` eme 3.1), que nous ´ enon¸ cons ici sous la forme suivante.
Proposition 5.2. — A toute fonction de r´ epartition F correspond une et
une seule mesure de probabilit´ e P sur (R, B
1 ), satisfaisant `
a P( ] − ∞, x] ) =
F(x) pour tout x r´ eel.
Remarque. — On peut aussi d´ efinir une fonction de r´ epartition F associ´ ee
` a un vecteur al´ eatoire X = (X 1 , X 2 , . . . , X n ) `
a n dimensions. Il suffit de
poser :
F(x 1 , x 2 , . . . , x n ) = P{X 1 ≤ x 1 , X 2 ≤ x 2 , . . . , X n ≤ x n }.
On obtient ainsi une fonction r´ eelle, ` a valeurs dans [0, 1], de n variables r´ eelles.
Les propri´ et´ es de cette fonction de r´ epartition (conjointe) sont ´ etudi´ ees dans
l’exercice 11.
6. La fonction de masse et les discontinuit´ es de la fonction de
r´ epartition. — Soient X : (Ω, A, P) → (R, B
1 ) une variable al´ eatoire r´ eelle
et F sa fonction de r´ epartition. On sait que pour tout x ∈ R on a {x} ∈ B
1 ,
de sorte que P{X = x} est d´ efini pour tout x.
D´ efinition. — On appelle fonction de masse de X l’application π(.) : R →
R
+ d´ efinie par π(x) = P{X = x}.
Proposition 6.1. — La fonction de masse π(.) est enti` erement d´ etermin´ ee par la loi de probabilit´ e, donc par la fonction de r´ epartition F. Pour
tout x ∈ R, on a : π(x) = F(x) − F(x − 0) = F(x + 0) − F(x − 0). Le nombre
π(x) est la hauteur du saut de F en x.
D´ emonstration. — Soit x ∈ R et (x n ) n≥1 une suite croissante de r´ eels tels
que pour tout n ≥ 1 on ait x n < x et x n ↑ x. Pout tout n ≥ 1 on a la relation
]−∞, x] = ]−∞, x n ] ∪ ]x n , x] ,
d’o` u, en prenant la probabilit´ e P X des deux cˆ ot´ es :
F(x) = F(x n ) + P X ( ]x n , x] ).
Passant `
a la limite pour n → ∞, on observe que :
(i) la suite (F(x n )) n≥1 est croissante born´ ee, elle tend donc vers une
limite not´ ee F(x − 0) ;
(ii) la suite d’ensembles ( ]x n , x] ) n≥1 est d´ ecroissante, sa limite est
n≥1 ]x n , x] = {x} ; d’o` u lim n P X ( ]x n , x] ) = P X ({x}) = P X {X = x} = π(x).
On obtient finalement : F(x) = F(x − 0) + π(x).
Proposition 6.2. — Soient X une variable al´ eatoire, F sa fonction de
r´ epartition, π(.) sa fonction de masse. Posons :
D X = {x ∈ R : π(x) > 0}.