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CHAPITRE 5 : VARIABLES AL ´
EATOIRES
retient alors que l’espace probabilis´ e (R
n , B
n , P X ), que l’on ´ etudie de fa¸ con
autonome en faisant abstraction du m´ ecanisme qui a donn´ e naissance ` a X. On
est alors dans le domaine de la ph´ enom´ enologie, puisque R
n est l’ensemble des
valeurs observ´ ees de X, dont l’information probabiliste sur X est concentr´ ee
sur la loi de probabilit´ e P X sur (R
n , B
n ).
Ce point de vue (appel´ e point de vue en loi ) est souvent adopt´ e,
principalement dans les expos´ es ´ el´ ementaires. Il est parfaitement d´ efendable,
d’autant que pour le calcul de la plupart des valeurs typiques d’une variable
al´ eatoire (esp´ erance math´ ematique, variance, m´ ediane, . . . ) il est suffisant
de connaˆ ıtre l’espace probabilis´ e (R
n , B
n , P X ).
Remarque 2. — La loi de probabilit´ e P X est l’image de la mesure P par
l’application X. On la note aussi X(P), notation qui a l’avantage suivant :
si l’on consid` ere la loi de f ◦ X, la transitivit´ e de la mesure image permet
d’´ ecrire : (f ◦ X)(P) = f (X(P)).
5. Fonction de r´ epartition d’une variable al´ eatoire r´ eelle. — Soit
(Ω, A, P) un espace probabilis´ e et X : (Ω, A, P) → (R, B
1 ) une variable
al´ eatoire r´ eelle. On appelle fonction de r´ epartition de X la fonction qui `
a
tout r´ eel x associe le nombre F(x) d´ efini par :
F(x) = P{X ≤ x} = P X ( ] − ∞, x] ).
Proposition 5.1. — La fonction de r´ epartition F d’une variable al´ eatoire
r´ eelle X satisfait aux propri´ et´ es suivantes :
(i) 0 ≤ F(x) ≤ 1 ;
(ii) F est une fonction croissante (au sens large), continue `
a droite en tout
point x de R ;
(iii) lim
x→−∞
F(x) = 0 et lim
x→+∞
F(x) = 1.
D´ emonstration. — La propri´ et´ e (i) est ´ evidente. Prenons ensuite deux
nombres r´ eels x et x
tels que x ≤ x
. Alors ] − ∞, x] ⊂] − ∞, x
]. D’o` u
P X ( ] − ∞, x] ) ≤ P X ( ] − ∞, x
] ) et par cons´ equent F(x) ≤ F(x
).
Soit maintenant une suite d´ ecroissante ( n ) de nombres r´ eels tendant
vers 0. (En abr´ eg´ e : n ↓ 0.) Pour tout r´ eel x on a :
P X ( ]x, x + n ] ) = P X ( ] − ∞, x + n ] ) − P X ( ] − ∞, x] )
= F(x + n ) − F(x).
Or ]x, x + n ] ↓ ∅. D’o` u lim n P X ( ]x, x + n ] ) = 0, soit F(x + 0) = F(x).
De mˆ eme, ] − ∞, −n] ↓ ∅, d’o` u lim x→−∞ F(x) = lim n P X ( ] − ∞, −n] ) =
P X (lim n ( ] − ∞, −n] ) = 0.
Finalement, ] − ∞, n] ↑ R. D’o` u lim x→+∞ F(x) = lim n P X ( ] − ∞, n] ) =
P X (lim n ( ] − ∞, n] ) = P X (R) = 1.
Remarque. — Il est souvent commode, pour une fonction r´ eelle F d’une
variable r´ eelle, qui satisfait les propri´ et´ es (i), (ii) et (iii) de la Proposition 5.1,
de dire qu’elle est une fonction de r´ epartition tout court (sur la droite).
CHAPITRE 5 : VARIABLES AL ´
EATOIRES
retient alors que l’espace probabilis´ e (R
n , B
n , P X ), que l’on ´ etudie de fa¸ con
autonome en faisant abstraction du m´ ecanisme qui a donn´ e naissance ` a X. On
est alors dans le domaine de la ph´ enom´ enologie, puisque R
n est l’ensemble des
valeurs observ´ ees de X, dont l’information probabiliste sur X est concentr´ ee
sur la loi de probabilit´ e P X sur (R
n , B
n ).
Ce point de vue (appel´ e point de vue en loi ) est souvent adopt´ e,
principalement dans les expos´ es ´ el´ ementaires. Il est parfaitement d´ efendable,
d’autant que pour le calcul de la plupart des valeurs typiques d’une variable
al´ eatoire (esp´ erance math´ ematique, variance, m´ ediane, . . . ) il est suffisant
de connaˆ ıtre l’espace probabilis´ e (R
n , B
n , P X ).
Remarque 2. — La loi de probabilit´ e P X est l’image de la mesure P par
l’application X. On la note aussi X(P), notation qui a l’avantage suivant :
si l’on consid` ere la loi de f ◦ X, la transitivit´ e de la mesure image permet
d’´ ecrire : (f ◦ X)(P) = f (X(P)).
5. Fonction de r´ epartition d’une variable al´ eatoire r´ eelle. — Soit
(Ω, A, P) un espace probabilis´ e et X : (Ω, A, P) → (R, B
1 ) une variable
al´ eatoire r´ eelle. On appelle fonction de r´ epartition de X la fonction qui `
a
tout r´ eel x associe le nombre F(x) d´ efini par :
F(x) = P{X ≤ x} = P X ( ] − ∞, x] ).
Proposition 5.1. — La fonction de r´ epartition F d’une variable al´ eatoire
r´ eelle X satisfait aux propri´ et´ es suivantes :
(i) 0 ≤ F(x) ≤ 1 ;
(ii) F est une fonction croissante (au sens large), continue `
a droite en tout
point x de R ;
(iii) lim
x→−∞
F(x) = 0 et lim
x→+∞
F(x) = 1.
D´ emonstration. — La propri´ et´ e (i) est ´ evidente. Prenons ensuite deux
nombres r´ eels x et x
tels que x ≤ x
. Alors ] − ∞, x] ⊂] − ∞, x
]. D’o` u
P X ( ] − ∞, x] ) ≤ P X ( ] − ∞, x
] ) et par cons´ equent F(x) ≤ F(x
).
Soit maintenant une suite d´ ecroissante ( n ) de nombres r´ eels tendant
vers 0. (En abr´ eg´ e : n ↓ 0.) Pour tout r´ eel x on a :
P X ( ]x, x + n ] ) = P X ( ] − ∞, x + n ] ) − P X ( ] − ∞, x] )
= F(x + n ) − F(x).
Or ]x, x + n ] ↓ ∅. D’o` u lim n P X ( ]x, x + n ] ) = 0, soit F(x + 0) = F(x).
De mˆ eme, ] − ∞, −n] ↓ ∅, d’o` u lim x→−∞ F(x) = lim n P X ( ] − ∞, −n] ) =
P X (lim n ( ] − ∞, −n] ) = 0.
Finalement, ] − ∞, n] ↑ R. D’o` u lim x→+∞ F(x) = lim n P X ( ] − ∞, n] ) =
P X (lim n ( ] − ∞, n] ) = P X (R) = 1.
Remarque. — Il est souvent commode, pour une fonction r´ eelle F d’une
variable r´ eelle, qui satisfait les propri´ et´ es (i), (ii) et (iii) de la Proposition 5.1,
de dire qu’elle est une fonction de r´ epartition tout court (sur la droite).