4. LOI DE PROBABILIT ´
E D’UNE VARIABLE AL ´
EATOIRE
47
Ces expressions sont lues probabilit´ e que X soit ´ egal `
a b et probabilit´ e que X
soit inf´ erieur ou ´ egal `
a b, respectivement.
De mˆ eme, si (A n ) d´ esigne une suite d’´ ev` enements de A, on ´ ecrit
P(A 1 , A 2 , . . . , A n ) pour P(A 1 ∩ A 2 ∩ · · · ∩ A n ). Cette expression se lit probabilit´ e que les ´ ev` enements A 1 , A 2 , . . . , A n se produisent en mˆ eme temps.
Enfin, si deux variables al´ eatoires X 1 et X 2 sont d´ efinies sur le mˆ eme
espace probabilis´ e (Ω, A, P), on ´ ecrit P{X 1 ≤ b 1 , X 2 ≤ b 2 } pour P(X
−1
1 ( ] −
∞, b 1 ] ∩ X
−1
2 ( ] − ∞, b 2 ] ) et on lit probabilit´ e que X 1 soit inf´ erieur ou ´ egal `
a
b 1 et que X 2 soit inf´ erieur ou ´ egal `
a b 2 .
4. Loi de probabilit´ e d’une variable al´ eatoire. — La notion de
variable al´ eatoire permet de probabiliser l’espace mesurable (R
n , B
n ) ; on a,
en effet, la proposition suivante.
Proposition 4.1. — Soit X : (Ω, A, P) → (R
n , B
n ) une variable
al´ eatoire `
a n dimensions. Alors l’application P X : B
n
→ [0, 1] d´ efinie pour
tout bor´ elien B de B
n par
P X (B) = P
X
−1 (B)
,
est une mesure de probabilit´ e sur (R
n , B
n ).
La mesure de probabilit´ e P X ainsi d´ efinie est appel´ ee loi de probabilit´ e de
la variable al´ eatoire X. Elle est encore not´ ee L(X). On dit aussi que X suit
la loi de probabilit´ e P X .
D´ emonstration. — Comme, pour tout sous-ensemble bor´ elien B, l’image
r´ eciproque X
−1 (B) appartient `
a A, la pr´ ec´ edente d´ efinition de P X a bien un
sens. D’autre part, P X (R
n ) = P
X
−1 (R
n )
= P(Ω) = 1. Enfin, si (B n ) est
une suite de sous-ensembles bor´ eliens deux `
a deux disjoints, on a les ´ egalit´ es :
P X
n B n
= P
X
−1
n B n
= P
n X
−1 (B n )
=
n P
X
−1 (B n )
=
n P X (B n ).
Avec les mˆ emes notations que ci-dessus, on a donc
P{X ∈ B} = P
X
−1 (B)
= P X (B).
D’autre part, l’espace (R
n , B
n , P X ) est un nouvel espace probabilis´ e. Il y
a donc lieu de bien pr´ eciser la probabilit´ e qu’on utilise lorsqu’on parle de
probabilit´ e d’un ´ ev` enement.
Remarque 1. — La notion de loi de probabilit´ e est fondamentale pour
la raison suivante : `
a toute mesure de probabilit´ e P
sur l’espace (R
n , B
n ),
on peut associer un espace probabilis´ e (Ω, A, P) et une variable al´ eatoire
X : (Ω, A, P) → (R
n , B
n ), telle que la loi de probabilit´ e P X de X soit
pr´ ecis´ ement P
. Il suffit de prendre, en effet, Ω = R
n , A = B
n , P = P
et pour X l’application identique de Ω.
On peut ainsi parler de variable al´ eatoire X ayant une loi de probabilit´ e
P X , sans sp´ ecifier l’espace probabilis´ e (Ω, A, P) sur lequel X est d´ efini. On ne
E D’UNE VARIABLE AL ´
EATOIRE
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Ces expressions sont lues probabilit´ e que X soit ´ egal `
a b et probabilit´ e que X
soit inf´ erieur ou ´ egal `
a b, respectivement.
De mˆ eme, si (A n ) d´ esigne une suite d’´ ev` enements de A, on ´ ecrit
P(A 1 , A 2 , . . . , A n ) pour P(A 1 ∩ A 2 ∩ · · · ∩ A n ). Cette expression se lit probabilit´ e que les ´ ev` enements A 1 , A 2 , . . . , A n se produisent en mˆ eme temps.
Enfin, si deux variables al´ eatoires X 1 et X 2 sont d´ efinies sur le mˆ eme
espace probabilis´ e (Ω, A, P), on ´ ecrit P{X 1 ≤ b 1 , X 2 ≤ b 2 } pour P(X
−1
1 ( ] −
∞, b 1 ] ∩ X
−1
2 ( ] − ∞, b 2 ] ) et on lit probabilit´ e que X 1 soit inf´ erieur ou ´ egal `
a
b 1 et que X 2 soit inf´ erieur ou ´ egal `
a b 2 .
4. Loi de probabilit´ e d’une variable al´ eatoire. — La notion de
variable al´ eatoire permet de probabiliser l’espace mesurable (R
n , B
n ) ; on a,
en effet, la proposition suivante.
Proposition 4.1. — Soit X : (Ω, A, P) → (R
n , B
n ) une variable
al´ eatoire `
a n dimensions. Alors l’application P X : B
n
→ [0, 1] d´ efinie pour
tout bor´ elien B de B
n par
P X (B) = P
X
−1 (B)
,
est une mesure de probabilit´ e sur (R
n , B
n ).
La mesure de probabilit´ e P X ainsi d´ efinie est appel´ ee loi de probabilit´ e de
la variable al´ eatoire X. Elle est encore not´ ee L(X). On dit aussi que X suit
la loi de probabilit´ e P X .
D´ emonstration. — Comme, pour tout sous-ensemble bor´ elien B, l’image
r´ eciproque X
−1 (B) appartient `
a A, la pr´ ec´ edente d´ efinition de P X a bien un
sens. D’autre part, P X (R
n ) = P
X
−1 (R
n )
= P(Ω) = 1. Enfin, si (B n ) est
une suite de sous-ensembles bor´ eliens deux `
a deux disjoints, on a les ´ egalit´ es :
P X
n B n
= P
X
−1
n B n
= P
n X
−1 (B n )
=
n P
X
−1 (B n )
=
n P X (B n ).
Avec les mˆ emes notations que ci-dessus, on a donc
P{X ∈ B} = P
X
−1 (B)
= P X (B).
D’autre part, l’espace (R
n , B
n , P X ) est un nouvel espace probabilis´ e. Il y
a donc lieu de bien pr´ eciser la probabilit´ e qu’on utilise lorsqu’on parle de
probabilit´ e d’un ´ ev` enement.
Remarque 1. — La notion de loi de probabilit´ e est fondamentale pour
la raison suivante : `
a toute mesure de probabilit´ e P
sur l’espace (R
n , B
n ),
on peut associer un espace probabilis´ e (Ω, A, P) et une variable al´ eatoire
X : (Ω, A, P) → (R
n , B
n ), telle que la loi de probabilit´ e P X de X soit
pr´ ecis´ ement P
. Il suffit de prendre, en effet, Ω = R
n , A = B
n , P = P
et pour X l’application identique de Ω.
On peut ainsi parler de variable al´ eatoire X ayant une loi de probabilit´ e
P X , sans sp´ ecifier l’espace probabilis´ e (Ω, A, P) sur lequel X est d´ efini. On ne