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CHAPITRE 5 : VARIABLES AL ´
EATOIRES
On a donc X
−1 (B
n ) ⊂ E. La fonction X est donc elle-mˆ eme mesurable,
d’apr` es la Proposition 2.1.
La prochaine proposition est donn´ ee sans d´ emonstration.
Proposition 2.5. — Soient (E, E) un espace mesurable, X : (E, E) →
(R
n , B
n ) et f : (R
n , B
n ) → (R, B
1 ) deux applications mesurables. Alors f ◦ X
est une fonction mesurable.
La notion d’indicatrice d’´ ev` enement a ´ et´ e introduite au chap. 1, § 3.3.
On prendra soin de ne pas confondre l’indicatrice I A d’un ´ ev` enement A
appartenant `
a une tribu A d’un ensemble Ω et la mesure singuli` ere ω , qui
est une fonction d’ensemble d´ efinie sur A. On a cependant la relation
I A (ω) = ω (A), pour tout ω ∈ Ω et A ∈ A.
La proposition suivante est imm´ ediate et donn´ ee sans d´ emonstration.
Proposition 2.6. — Soit (Ω, A) un espace mesurable. Alors l’indicatrice I A d’un sous-ensemble A de Ω est une fonction mesurable si et seulement si A appartient ` a A.
3. Variables al´ eatoires
D´ efinition. — Un espace probabilis´ e (Ω, A, P) ´ etant donn´ e, on appelle
variable al´ eatoire r´ eelle (resp. variable al´ eatoire `
a valeurs dans R
n ou ` a
n dimensions) une fonction mesurable de (Ω, A) dans (R, B
1 ) (resp. dans
(R
n , B
n )).
Il r´ esulte de ce qui pr´ ec` ede qu’une variable al´ eatoire r´ eelle (resp. ` a n
dimensions) est une application de Ω dans R (resp. dans R
n ) telle que pour
tout a r´ eel (resp. toute suite (a 1 , . . . , a n ) de nombre r´ eels) l’image r´ eciproque
X
−1 ( ] − ∞, a] ) (resp. X
−1 ( ] − ∞, a 1 ] × · · · ×] − ∞, a n ] )) appartient `
a la
tribu A.
Remarque. — Notons que dans la d´ efinition d’une variable al´ eatoire, la
mesure de probabilit´ e P figurant dans le triplet (Ω, A, P) ne joue aucun rˆ ole ;
seule intervient la tribu A. La terminologie usuelle de variable al´ eatoire est
donc, en toute rigueur, impropre. Cependant la variable al´ eatoire X d´ efinie
sur le triplet permet de probabiliser l’espace d’arriv´ ee (R, B
1 ), comme il est
d´ ecrit ci-apr` es.
Notation probabiliste. — Supposons donn´ es un espace probabilis´ e (Ω, A, P)
et un ´ ev` enement A de la tribu A. La notation P(A) se lit probabilit´ e de
l’´ ev` enement A ou probabilit´ e que l’´ ev` enement A se produise.
De la mˆ eme fa¸ con, si X est une variable al´ eatoire r´ eelle d´ efinie sur cet
espace et si B est un bor´ elien de la droite, l’´ ev` enement X
−1 (B) = {ω ∈ Ω :
X(ω) ∈ B} appartient `
a A. On note cet ´ ev` enement {X ∈ B}. Sa probabilit´ e
P{X ∈ B} se lit probabilit´ e que X soit dans B.
L’ensemble B peut prendre diverses formes. On ´ ecrira, par exemple,
P{X = b} au lieu de P{X ∈ {b}} et P{X ≤ b} au lieu de P{X ∈] − ∞, b]}.
CHAPITRE 5 : VARIABLES AL ´
EATOIRES
On a donc X
−1 (B
n ) ⊂ E. La fonction X est donc elle-mˆ eme mesurable,
d’apr` es la Proposition 2.1.
La prochaine proposition est donn´ ee sans d´ emonstration.
Proposition 2.5. — Soient (E, E) un espace mesurable, X : (E, E) →
(R
n , B
n ) et f : (R
n , B
n ) → (R, B
1 ) deux applications mesurables. Alors f ◦ X
est une fonction mesurable.
La notion d’indicatrice d’´ ev` enement a ´ et´ e introduite au chap. 1, § 3.3.
On prendra soin de ne pas confondre l’indicatrice I A d’un ´ ev` enement A
appartenant `
a une tribu A d’un ensemble Ω et la mesure singuli` ere ω , qui
est une fonction d’ensemble d´ efinie sur A. On a cependant la relation
I A (ω) = ω (A), pour tout ω ∈ Ω et A ∈ A.
La proposition suivante est imm´ ediate et donn´ ee sans d´ emonstration.
Proposition 2.6. — Soit (Ω, A) un espace mesurable. Alors l’indicatrice I A d’un sous-ensemble A de Ω est une fonction mesurable si et seulement si A appartient ` a A.
3. Variables al´ eatoires
D´ efinition. — Un espace probabilis´ e (Ω, A, P) ´ etant donn´ e, on appelle
variable al´ eatoire r´ eelle (resp. variable al´ eatoire `
a valeurs dans R
n ou ` a
n dimensions) une fonction mesurable de (Ω, A) dans (R, B
1 ) (resp. dans
(R
n , B
n )).
Il r´ esulte de ce qui pr´ ec` ede qu’une variable al´ eatoire r´ eelle (resp. ` a n
dimensions) est une application de Ω dans R (resp. dans R
n ) telle que pour
tout a r´ eel (resp. toute suite (a 1 , . . . , a n ) de nombre r´ eels) l’image r´ eciproque
X
−1 ( ] − ∞, a] ) (resp. X
−1 ( ] − ∞, a 1 ] × · · · ×] − ∞, a n ] )) appartient `
a la
tribu A.
Remarque. — Notons que dans la d´ efinition d’une variable al´ eatoire, la
mesure de probabilit´ e P figurant dans le triplet (Ω, A, P) ne joue aucun rˆ ole ;
seule intervient la tribu A. La terminologie usuelle de variable al´ eatoire est
donc, en toute rigueur, impropre. Cependant la variable al´ eatoire X d´ efinie
sur le triplet permet de probabiliser l’espace d’arriv´ ee (R, B
1 ), comme il est
d´ ecrit ci-apr` es.
Notation probabiliste. — Supposons donn´ es un espace probabilis´ e (Ω, A, P)
et un ´ ev` enement A de la tribu A. La notation P(A) se lit probabilit´ e de
l’´ ev` enement A ou probabilit´ e que l’´ ev` enement A se produise.
De la mˆ eme fa¸ con, si X est une variable al´ eatoire r´ eelle d´ efinie sur cet
espace et si B est un bor´ elien de la droite, l’´ ev` enement X
−1 (B) = {ω ∈ Ω :
X(ω) ∈ B} appartient `
a A. On note cet ´ ev` enement {X ∈ B}. Sa probabilit´ e
P{X ∈ B} se lit probabilit´ e que X soit dans B.
L’ensemble B peut prendre diverses formes. On ´ ecrira, par exemple,
P{X = b} au lieu de P{X ∈ {b}} et P{X ≤ b} au lieu de P{X ∈] − ∞, b]}.