2. FONCTIONS MESURABLES
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On a vu que la classe des intervalles ouverts (resp. des demi-droites, etc.)
engendrait la tribu bor´ elienne B
1 de R. Il r´ esulte donc de la proposition
pr´ ec´ edente que pour v´ erifier qu’une fonction `
a valeurs r´ eelles, d´ efinie sur un
espace mesurable (E, E), est mesurable, il suffit de montrer que pour tout
couple de nombre r´ eels (a, b) tels que a < b on a X
−1 ( ]a, b[ ) ∈ E (resp. que
pour tout nombre r´ eel a l’image r´ eciproque X
−1 ( ] − ∞, a] ) appartient `
a E,
etc.).
La proposition suivante se d´ emontre ` a l’aide de la Proposition 2.1. Sa
d´ emonstration n’est pas reproduite.
Proposition 2.2. — Soient (E, E) un espace mesurable, λ un nombre
r´ eel et X, Y (avec ou sans indice) des fonctions mesurables sur (E, E). Alors
|X|, X + Y , λX, X · Y , lim sup n X n , lim inf n X n , sup n X n , inf n X n (` a la
condition que ces op´ erations conduisent `
a des fonctions ` a valeurs num´ eriques
finies) sont mesurables.
Si, de plus, X = 0, alors 1/X est mesurable. Enfin, si X n converge en
tout point e de E vers un nombre fini, la fonction X = lim n X n est aussi
mesurable.
On r´ esume tout cet ´ enonc´ e en disant que la mesurabilit´ e est stable sous
toutes les op´ erations classiques de l’analyse. Les applications constantes sont
´ evidemment mesurables. Pour les fonctions continues, on a l’´ enonc´ e suivant.
Proposition 2.3. — Soient E un espace topologique et E la tribu
engendr´ ee par la classe des ouverts de E. Alors toute fonction continue
X : (E, E) → (R, B
1 ) est mesurable.
D´ emonstration. — Soit O la classe des ouverts de R. Alors X
−1 (O) ⊂ E.
D’o` u T
X
−1 (O)
= X
−1
T(O)
⊂ E. Comme on a T(O) = B
1 , on en conclut
que X
−1 (B
1 ) est contenu dans E, c’est-` a-dire que X est mesurable.
La prochaine proposition permet de comparer la mesurabilit´ e d’une fonction `
a valeurs dans R
n avec la mesurabilit´ e des applications coordonn´ ees de
cette fonction.
Proposition 2.4. — Soient (E, E) un espace mesurable et X =
(X 1 , . . . , X n ) une application de E dans R
n . Alors X est une fonction mesurable de (E, E) dans (R
n , B
n ), si et seulement si, pour chaque i = 1, . . . , n,
l’application coordonn´ ee X i : E → R est une fonction mesurable de (E, E)
dans (R, B
1 ).
D´ emonstration. — Soient (B 1 , . . . , B n ) une suite de n bor´ eliens de la
droite r´ eelle. Alors le produit cart´ esien B =
i B i est un bor´ elien de R
n . De
plus, X
−1 (B) =
i X
−1
i (B i ). Si X est mesurable, choisissons un entier i
dans [1, n] et prenons B i = [a i , b i [ et B j = R pour tout j = i. Alors
X
−1 (B) = X
−1
i ( [a i , b i [ ). D’o` u X
−1
i ( [a i , b i [ ) appartient `
a E. Par suite, X i
est mesurable, d’apr` es la Proposition 2.1.
R´ eciproquement, si tous les X i sont mesurables, prenons B i = [a i , b i [
(i = 1, . . . , n). L’ensemble B est un pav´ e de R
n et X
−1 (B) appartient `
a E.
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On a vu que la classe des intervalles ouverts (resp. des demi-droites, etc.)
engendrait la tribu bor´ elienne B
1 de R. Il r´ esulte donc de la proposition
pr´ ec´ edente que pour v´ erifier qu’une fonction `
a valeurs r´ eelles, d´ efinie sur un
espace mesurable (E, E), est mesurable, il suffit de montrer que pour tout
couple de nombre r´ eels (a, b) tels que a < b on a X
−1 ( ]a, b[ ) ∈ E (resp. que
pour tout nombre r´ eel a l’image r´ eciproque X
−1 ( ] − ∞, a] ) appartient `
a E,
etc.).
La proposition suivante se d´ emontre ` a l’aide de la Proposition 2.1. Sa
d´ emonstration n’est pas reproduite.
Proposition 2.2. — Soient (E, E) un espace mesurable, λ un nombre
r´ eel et X, Y (avec ou sans indice) des fonctions mesurables sur (E, E). Alors
|X|, X + Y , λX, X · Y , lim sup n X n , lim inf n X n , sup n X n , inf n X n (` a la
condition que ces op´ erations conduisent `
a des fonctions ` a valeurs num´ eriques
finies) sont mesurables.
Si, de plus, X = 0, alors 1/X est mesurable. Enfin, si X n converge en
tout point e de E vers un nombre fini, la fonction X = lim n X n est aussi
mesurable.
On r´ esume tout cet ´ enonc´ e en disant que la mesurabilit´ e est stable sous
toutes les op´ erations classiques de l’analyse. Les applications constantes sont
´ evidemment mesurables. Pour les fonctions continues, on a l’´ enonc´ e suivant.
Proposition 2.3. — Soient E un espace topologique et E la tribu
engendr´ ee par la classe des ouverts de E. Alors toute fonction continue
X : (E, E) → (R, B
1 ) est mesurable.
D´ emonstration. — Soit O la classe des ouverts de R. Alors X
−1 (O) ⊂ E.
D’o` u T
X
−1 (O)
= X
−1
T(O)
⊂ E. Comme on a T(O) = B
1 , on en conclut
que X
−1 (B
1 ) est contenu dans E, c’est-` a-dire que X est mesurable.
La prochaine proposition permet de comparer la mesurabilit´ e d’une fonction `
a valeurs dans R
n avec la mesurabilit´ e des applications coordonn´ ees de
cette fonction.
Proposition 2.4. — Soient (E, E) un espace mesurable et X =
(X 1 , . . . , X n ) une application de E dans R
n . Alors X est une fonction mesurable de (E, E) dans (R
n , B
n ), si et seulement si, pour chaque i = 1, . . . , n,
l’application coordonn´ ee X i : E → R est une fonction mesurable de (E, E)
dans (R, B
1 ).
D´ emonstration. — Soient (B 1 , . . . , B n ) une suite de n bor´ eliens de la
droite r´ eelle. Alors le produit cart´ esien B =
i B i est un bor´ elien de R
n . De
plus, X
−1 (B) =
i X
−1
i (B i ). Si X est mesurable, choisissons un entier i
dans [1, n] et prenons B i = [a i , b i [ et B j = R pour tout j = i. Alors
X
−1 (B) = X
−1
i ( [a i , b i [ ). D’o` u X
−1
i ( [a i , b i [ ) appartient `
a E. Par suite, X i
est mesurable, d’apr` es la Proposition 2.1.
R´ eciproquement, si tous les X i sont mesurables, prenons B i = [a i , b i [
(i = 1, . . . , n). L’ensemble B est un pav´ e de R
n et X
−1 (B) appartient `
a E.