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CHAPITRE 5 : VARIABLES AL ´
EATOIRES
D´ emonstration. — En effet, comme E est ´ egal ` a X
−1 (F ) et que F
appartient `
a F, on a bien E ∈ X
−1 (F). D’autre part, si B appartient `
a F,
alors B
c est aussi dans F. Par suite,
X
−1 (B)
c = X
−1 (B
c ) ∈ X
−1 (F).
Enfin, si (B n ) est une suite de parties appartenant `
a F, alors leur r´ eunion y
appartient aussi et l’on a :
n X
−1 (B n ) = X
−1 (
n B n ) ∈ X
−1 (F).
La prochaine proposition dit que l’application r´ eciproque commute avec
l’op´ eration de tribu engendr´ ee.
Proposition 1.2. — Soient X : E → F une application et C une classe
de parties de F . Alors T(X
−1
C)
= X
−1
T(C)
, o` u T(C) d´ esigne la tribu
engendr´ ee par C.
D´ emonstration. — On a tout d’abord C ⊂ T(C), d’o` u X
−1 (C) ⊂
X
−1
T(C)
. Comme ce dernier ensemble est une tribu d’apr` es la proposition pr´ ec´ edente, on a l’inclusion : T
X
−1 (C)
⊂ X
−1
T(C)
.
Notons F la classe des parties B de F dont les images r´ eciproques
X
−1 (B) sont des ´ el´ ements de T
X
−1 (C)
. On a, par cons´ equent X
−1 (F) ⊂
T
X
−1 (C)
. V´ erifions d’abord que F est une tribu de F :
(i) On a X
−1 (F ) = E ∈ T
X
−1 (C)
, d’o` u F ∈ F.
(ii) Si (B n ) est une suite d’´ el´ ements de F, alors
X
−1 (
n B n ) =
n X
−1 (B n ) ∈ T
X
−1 (C)
, d’o` u
n B n ∈ F.
(iii) Si B appartient `
a F, alors X
−1 (B
c ) =
X
−1 (B)
c appartient aussi `
a
T
X
−1 (C)
. D’o` u B
c
∈ F.
Notons ensuite que F contient C, donc contient aussi T(C). Par suite,
T
X
−1 (C)
⊃ X
−1 (F) ⊃ X
−1 T(C).
Les deux tribus T
X
−1 (C)
et X
−1 T(C) sont donc identiques.
2. Fonctions mesurables
D´ efinition. — Soient (E, E) et (F, F) deux espaces mesurables. On dit
que X : E → F est une fonction mesurable de (E, E) dans (F, F), si X
−1 (F)
est une sous-tribu de E. Si (F, F) = (R, B
1 ), on parle simplement de fonction
mesurable sur (E, E).
La proposition suivante permet de v´ erifier la mesurabilit´ e d’une application non n´ ecessairement sur tous les ´ el´ ements de la tribu F, mais sur les seuls
´ el´ ements d’une classe qui engendre F.
Proposition 2.1. — Soient (E, E) et (F, F) deux espaces mesurables.
Pour qu’une application X : E → F soit une application mesurable de (E, E)
dans (F, F), il suffit qu’il existe une classe C de parties de F, qui engendre F
et qui soit telle que X
−1 (C) ⊂ E.
D´ emonstration. — En effet, si X
−1 (C) est contenue dans la tribu E,
alors la tribu T
X
−1 (C)
, ´ egale ` a X
−1
T(C)
d’apr` es la Proposition 1.2,
ou encore `
a X
−1 (F), est aussi contenue dans E. L’application X est donc
bien mesurable.
CHAPITRE 5 : VARIABLES AL ´
EATOIRES
D´ emonstration. — En effet, comme E est ´ egal ` a X
−1 (F ) et que F
appartient `
a F, on a bien E ∈ X
−1 (F). D’autre part, si B appartient `
a F,
alors B
c est aussi dans F. Par suite,
X
−1 (B)
c = X
−1 (B
c ) ∈ X
−1 (F).
Enfin, si (B n ) est une suite de parties appartenant `
a F, alors leur r´ eunion y
appartient aussi et l’on a :
n X
−1 (B n ) = X
−1 (
n B n ) ∈ X
−1 (F).
La prochaine proposition dit que l’application r´ eciproque commute avec
l’op´ eration de tribu engendr´ ee.
Proposition 1.2. — Soient X : E → F une application et C une classe
de parties de F . Alors T(X
−1
C)
= X
−1
T(C)
, o` u T(C) d´ esigne la tribu
engendr´ ee par C.
D´ emonstration. — On a tout d’abord C ⊂ T(C), d’o` u X
−1 (C) ⊂
X
−1
T(C)
. Comme ce dernier ensemble est une tribu d’apr` es la proposition pr´ ec´ edente, on a l’inclusion : T
X
−1 (C)
⊂ X
−1
T(C)
.
Notons F la classe des parties B de F dont les images r´ eciproques
X
−1 (B) sont des ´ el´ ements de T
X
−1 (C)
. On a, par cons´ equent X
−1 (F) ⊂
T
X
−1 (C)
. V´ erifions d’abord que F est une tribu de F :
(i) On a X
−1 (F ) = E ∈ T
X
−1 (C)
, d’o` u F ∈ F.
(ii) Si (B n ) est une suite d’´ el´ ements de F, alors
X
−1 (
n B n ) =
n X
−1 (B n ) ∈ T
X
−1 (C)
, d’o` u
n B n ∈ F.
(iii) Si B appartient `
a F, alors X
−1 (B
c ) =
X
−1 (B)
c appartient aussi `
a
T
X
−1 (C)
. D’o` u B
c
∈ F.
Notons ensuite que F contient C, donc contient aussi T(C). Par suite,
T
X
−1 (C)
⊃ X
−1 (F) ⊃ X
−1 T(C).
Les deux tribus T
X
−1 (C)
et X
−1 T(C) sont donc identiques.
2. Fonctions mesurables
D´ efinition. — Soient (E, E) et (F, F) deux espaces mesurables. On dit
que X : E → F est une fonction mesurable de (E, E) dans (F, F), si X
−1 (F)
est une sous-tribu de E. Si (F, F) = (R, B
1 ), on parle simplement de fonction
mesurable sur (E, E).
La proposition suivante permet de v´ erifier la mesurabilit´ e d’une application non n´ ecessairement sur tous les ´ el´ ements de la tribu F, mais sur les seuls
´ el´ ements d’une classe qui engendre F.
Proposition 2.1. — Soient (E, E) et (F, F) deux espaces mesurables.
Pour qu’une application X : E → F soit une application mesurable de (E, E)
dans (F, F), il suffit qu’il existe une classe C de parties de F, qui engendre F
et qui soit telle que X
−1 (C) ⊂ E.
D´ emonstration. — En effet, si X
−1 (C) est contenue dans la tribu E,
alors la tribu T
X
−1 (C)
, ´ egale ` a X
−1
T(C)
d’apr` es la Proposition 1.2,
ou encore `
a X
−1 (F), est aussi contenue dans E. L’application X est donc
bien mesurable.