CHAPITRE 5
VARIABLES AL ´
EATOIRES
Le mod` ele d´ ecrit dans les chapitres pr´ ec´ edents n’est plus suffisant lorsque
l’on veut mesurer des grandeurs d´ ependant du hasard ou d´ ecrire l’´ etat d’un
syst` eme al´ eatoire ´ evoluant au cours du temps. On est amen´ e ` a introduire
des fonctions d´ efinies sur des espaces probabilis´ es. Les anciens les appelaient
variables al´ eatoires et nous avons conserv´ e l’appellation. Ce sont, en fait, de
v´ eritables fonctions, `
a valeurs r´ eelles ou ` a valeurs dans R
n . L’objet de ce
chapitre est de donner la d´ efinition formelle de variable al´ eatoire, apr` es avoir
rappel´ e quelques points techniques sur les applications r´ eciproques et fourni
quelques r´ esultats de base sur les fonctions mesurables.
1. Application r´ eciproque. — L’application r´ eciproque X
−1 d’une
application X : E → F est une application de l’ensemble des parties P(F )
dans l’ensemble P(E), qui envoie toute partie B de F sur la partie X
−1 (B)
de E form´ ee de tous les ´ el´ ements e tels que X(e) appartient `
a B. L’ensemble
X
−1 (B) = {e ∈ E : X(e) ∈ B} est appel´ e l’image r´ eciproque de B.
Le fait essentiel, qui ne sera pas red´ emontr´ e ici, est que l’application
r´ eciproque X
−1 conserve les op´ erations ´ el´ ementaires sur les ensembles. En
d’autres termes, si B n (avec ou sans indice) d´ esigne une partie de F , on a les
relations :
X
−1 (∅) = ∅,
X
−1 (F ) = E,
X
−1 (B
c ) =
X
−1 (B)
c ,
X
−1
n
B n
=
n
X
−1 (B n ),
X
−1
n
B n
=
n
X
−1 (B n ).
En particulier, l’image r´ eciproque de la r´ eunion de sous-ensembles disjoints
deux `
a deux est la r´ eunion de leurs images r´ eciproques, disjointes deux `
a deux
´ egalement. Avec la notation
, on a donc :
X
−1
n
B n
=
n
X
−1 (B n ).
Comme on peut s’y attendre, l’application r´ eciproque conserve les structures
alg´ ebriques sur les ensembles, en particulier la structure de tribu ; on a, en
effet, la proposition suivante.
Proposition 1.1. — Soient (F, F) un espace mesurable et X : E → F
une application. Alors la famille X
−1 (F) = {X
−1 (B) : B ∈ F} est une tribu
de E.
VARIABLES AL ´
EATOIRES
Le mod` ele d´ ecrit dans les chapitres pr´ ec´ edents n’est plus suffisant lorsque
l’on veut mesurer des grandeurs d´ ependant du hasard ou d´ ecrire l’´ etat d’un
syst` eme al´ eatoire ´ evoluant au cours du temps. On est amen´ e ` a introduire
des fonctions d´ efinies sur des espaces probabilis´ es. Les anciens les appelaient
variables al´ eatoires et nous avons conserv´ e l’appellation. Ce sont, en fait, de
v´ eritables fonctions, `
a valeurs r´ eelles ou ` a valeurs dans R
n . L’objet de ce
chapitre est de donner la d´ efinition formelle de variable al´ eatoire, apr` es avoir
rappel´ e quelques points techniques sur les applications r´ eciproques et fourni
quelques r´ esultats de base sur les fonctions mesurables.
1. Application r´ eciproque. — L’application r´ eciproque X
−1 d’une
application X : E → F est une application de l’ensemble des parties P(F )
dans l’ensemble P(E), qui envoie toute partie B de F sur la partie X
−1 (B)
de E form´ ee de tous les ´ el´ ements e tels que X(e) appartient `
a B. L’ensemble
X
−1 (B) = {e ∈ E : X(e) ∈ B} est appel´ e l’image r´ eciproque de B.
Le fait essentiel, qui ne sera pas red´ emontr´ e ici, est que l’application
r´ eciproque X
−1 conserve les op´ erations ´ el´ ementaires sur les ensembles. En
d’autres termes, si B n (avec ou sans indice) d´ esigne une partie de F , on a les
relations :
X
−1 (∅) = ∅,
X
−1 (F ) = E,
X
−1 (B
c ) =
X
−1 (B)
c ,
X
−1
n
B n
=
n
X
−1 (B n ),
X
−1
n
B n
=
n
X
−1 (B n ).
En particulier, l’image r´ eciproque de la r´ eunion de sous-ensembles disjoints
deux `
a deux est la r´ eunion de leurs images r´ eciproques, disjointes deux `
a deux
´ egalement. Avec la notation
, on a donc :
X
−1
n
B n
=
n
X
−1 (B n ).
Comme on peut s’y attendre, l’application r´ eciproque conserve les structures
alg´ ebriques sur les ensembles, en particulier la structure de tribu ; on a, en
effet, la proposition suivante.
Proposition 1.1. — Soient (F, F) un espace mesurable et X : E → F
une application. Alors la famille X
−1 (F) = {X
−1 (B) : B ∈ F} est une tribu
de E.