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CHAPITRE 4 : PROBABILIT ´
ES DISCR `
ETES. D ´
ENOMBREMENTS
e) Soit A l’´ ev` enement parmi m urnes fix´ ees ` a l’avance, aucune n’est
vide (1 ≤ m ≤ n). Pour calculer la probabilit´ e de A = A
c
1 ∩ · · · ∩ A
c
m on
utilise la formule de Poincar´ e :
P(A) =
m
k=0
(−1)
k
1≤i 1 <··· P(A i 1 ∩ · · · ∩ A i k )
=
m
k=0
(−1)
k
m
k
1 −
k
n
r
.
f) Soit C = C 1,k 1 ∩ C 2,k 2 ∩ · · · ∩ C n,k n . On a : P(C) =
1
n r
r!
k 1 ! . . . k n !
, si
k 1 + · · · + k n = r et P(C) = 0, sinon.
g) Dans Strasbourg sept accidents se produisent chaque semaine. En
faisant des hypoth` eses convenables, calculer la probabilit´ e pour qu’une
semaine contienne un jour avec au moins deux accidents.
R´ eponse. — On a r = 7 boules (accidents) `
a r´ epartir dans n = 7 urnes
(les jours de la semaine). En d´ esignant par A i (i = 1, . . . , 7) l’´ ev` enement le
i
i` eme jour est sans accident , l’´ ev` enement dont on cherche la probabilit´ e est
A = A 1 ∪ · · · ∪ A 7 . La formule de Poincar´ e donne :
P(A) =
7
k=1
(−1)
k−1
7
k
P(A 1 ∩ · · · ∩ A k )
=
7
k=1
(−1)
k−1
7
k
1 −
k
7
7
≈ 0, 99387.
On a encore P(A) = 1 − (7!/7
7 ). Un malheur n’arrive jamais seul !
9. Boules indiscernables et urnes discernables (Bose-Einstein).
a) Ici seul le nombre de boules dans les urnes intervient. On prend pour Ω
l’ensemble des suites (x 1 , . . . , x n ) qui sont solutions en nombre entiers positifs
de l’´ equation : x 1 + · · · + x n = r (cf. Proposition 4.5.2). Le cardinal de Ω est
donc
n+r−1
r
. Comme mesure de probabilit´ e sur Ω on prend l’´ equir´ epartition.
b) Soit A k l’´ ev` enement une urne fix´ ee contient exactement k boules .
On a : P(A k ) =
n+r−k−2
r−k
/
n+r−1
r
.
10. Boules indiscernables, urnes discernables et impossibilit´ e d’avoir deux
ou plus de deux boules dans une mˆ eme urne (Fermi-Dirac).
a) L’ensemble Ω est l’ensemble des parties de r ´ el´ ements (les r urnes non
vides) prises d’un ensemble de n ´ el´ ements (les n urnes au total). Le cardinal
de Ω est
n
r
(cf. Proposition 4.4.1). On prend l’´ equir´ epartition sur Ω.
b) Soit A 1 l’´ ev` enement une urne fix´ ee contient exactement une boule .
On a : P(A 1 ) =
n−1
r−1
/
n
r
= r/n.
CHAPITRE 4 : PROBABILIT ´
ES DISCR `
ETES. D ´
ENOMBREMENTS
e) Soit A l’´ ev` enement parmi m urnes fix´ ees ` a l’avance, aucune n’est
vide (1 ≤ m ≤ n). Pour calculer la probabilit´ e de A = A
c
1 ∩ · · · ∩ A
c
m on
utilise la formule de Poincar´ e :
P(A) =
m
k=0
(−1)
k
1≤i 1 <··· P(A i 1 ∩ · · · ∩ A i k )
=
m
k=0
(−1)
k
m
k
1 −
k
n
r
.
f) Soit C = C 1,k 1 ∩ C 2,k 2 ∩ · · · ∩ C n,k n . On a : P(C) =
1
n r
r!
k 1 ! . . . k n !
, si
k 1 + · · · + k n = r et P(C) = 0, sinon.
g) Dans Strasbourg sept accidents se produisent chaque semaine. En
faisant des hypoth` eses convenables, calculer la probabilit´ e pour qu’une
semaine contienne un jour avec au moins deux accidents.
R´ eponse. — On a r = 7 boules (accidents) `
a r´ epartir dans n = 7 urnes
(les jours de la semaine). En d´ esignant par A i (i = 1, . . . , 7) l’´ ev` enement le
i
i` eme jour est sans accident , l’´ ev` enement dont on cherche la probabilit´ e est
A = A 1 ∪ · · · ∪ A 7 . La formule de Poincar´ e donne :
P(A) =
7
k=1
(−1)
k−1
7
k
P(A 1 ∩ · · · ∩ A k )
=
7
k=1
(−1)
k−1
7
k
1 −
k
7
7
≈ 0, 99387.
On a encore P(A) = 1 − (7!/7
7 ). Un malheur n’arrive jamais seul !
9. Boules indiscernables et urnes discernables (Bose-Einstein).
a) Ici seul le nombre de boules dans les urnes intervient. On prend pour Ω
l’ensemble des suites (x 1 , . . . , x n ) qui sont solutions en nombre entiers positifs
de l’´ equation : x 1 + · · · + x n = r (cf. Proposition 4.5.2). Le cardinal de Ω est
donc
n+r−1
r
. Comme mesure de probabilit´ e sur Ω on prend l’´ equir´ epartition.
b) Soit A k l’´ ev` enement une urne fix´ ee contient exactement k boules .
On a : P(A k ) =
n+r−k−2
r−k
/
n+r−1
r
.
10. Boules indiscernables, urnes discernables et impossibilit´ e d’avoir deux
ou plus de deux boules dans une mˆ eme urne (Fermi-Dirac).
a) L’ensemble Ω est l’ensemble des parties de r ´ el´ ements (les r urnes non
vides) prises d’un ensemble de n ´ el´ ements (les n urnes au total). Le cardinal
de Ω est
n
r
(cf. Proposition 4.4.1). On prend l’´ equir´ epartition sur Ω.
b) Soit A 1 l’´ ev` enement une urne fix´ ee contient exactement une boule .
On a : P(A 1 ) =
n−1
r−1
/
n
r
= r/n.