COMPL ´
EMENTS ET EXERCICES
41
puisque la probabilit´ e de l’´ ev` enement cherch´ e est :
1 −
35
36
24
= 0, 491404 <
1
2
.
Le Chevalier ´ etait donc moins heureux avec cette r` egle qu’avec la pr´ ec´ edente.
En fait, il s’´ etait laiss´ e abuser par un soi-disant argument d’homoth´ etie : en
lan¸ cant un d´ e, il y a six issues, en lan¸ cant deux d´ es, il y en a 6
2 = 36, soit six
fois plus. Comme il est avantageux de parier sur l’apparition d’au moins un
six en lan¸ cant un d´ e quatre fois de suite, il doit ˆ etre avantageux de parier
sur l’apparition d’au moins un double-six en lan¸ cant deux d´ es 4 × 6 = 24
fois de suite ! Paradoxe ! Noter que si le Chevalier avait pari´ e sur l’apparition
d’au moins un double-six en lan¸ cant deux d´ es vingt-cinq fois de suite,
il aurait ´ et´ e avantag´ e, la probabilit´ e de l’´ ev` enement d´ esir´ e ´ etant sup´ erieure
` a 1/2.
Dans les exercices suivants, on ´ etudie le mod` ele des urnes et des boules.
Il s’agit de r´ epartir r boules dans n urnes et l’on suppose les r´ epartitions
´ equiprobables. Cependant, on obtient diff´ erentes situations suivant que l’on
consid` ere les boules et les urnes comme discernables ou indiscernables. Tous
ces mod` eles sont effectivement utilis´ es en m´ ecanique statistique.
8. Boules et urnes discernables (mod` ele de Maxwell-Boltzmann)
a) L’ensemble Ω de toutes les r´ epartitions possibles est l’ensemble Ω de
toutes les suites (ω 1 , . . . , ω r ), de longueur r, o` u ω j d´ esigne l’urne contenant
la j
i` eme boule (j = 1, . . . , r). Le cardinal de Ω est donc n
r . On prend comme
probabilit´ e sur Ω l’´ equir´ epartition P.
b) On d´ esigne par A i l’´ ev` enement la i
i` eme urne est vide (i = 1, . . . , n).
On a :
P(A i ) =
1 −
1
n
r
pour tout i = 1, . . . , n.
c) Soit B l’´ ev` enement chaque urne contient au plus une boule . On a :
P(B) =
n(n − 1) . . . (n − r + 1)
n r
.
Cette quantit´ e est nulle si r ≥ n + 1.
d) Soit C ik l’´ ev` enement la i
i` eme urne contient exactement k boules
(1 ≤ i ≤ n ; 0 ≤ k ≤ r). Les k boules peuvent ˆ etre choisies de
r
k
fa¸ cons
et les (r − k) boules restantes peuvent ˆ etre plac´ ees dans les (n − 1) urnes
restantes de (n − 1)
r−k fa¸ cons. On a donc :
P(C ik ) =
1
n r
r
k
(n − 1)
r−k =
r
k
1
n
k
1 −
1
n
r−k
.
EMENTS ET EXERCICES
41
puisque la probabilit´ e de l’´ ev` enement cherch´ e est :
1 −
35
36
24
= 0, 491404 <
1
2
.
Le Chevalier ´ etait donc moins heureux avec cette r` egle qu’avec la pr´ ec´ edente.
En fait, il s’´ etait laiss´ e abuser par un soi-disant argument d’homoth´ etie : en
lan¸ cant un d´ e, il y a six issues, en lan¸ cant deux d´ es, il y en a 6
2 = 36, soit six
fois plus. Comme il est avantageux de parier sur l’apparition d’au moins un
six en lan¸ cant un d´ e quatre fois de suite, il doit ˆ etre avantageux de parier
sur l’apparition d’au moins un double-six en lan¸ cant deux d´ es 4 × 6 = 24
fois de suite ! Paradoxe ! Noter que si le Chevalier avait pari´ e sur l’apparition
d’au moins un double-six en lan¸ cant deux d´ es vingt-cinq fois de suite,
il aurait ´ et´ e avantag´ e, la probabilit´ e de l’´ ev` enement d´ esir´ e ´ etant sup´ erieure
` a 1/2.
Dans les exercices suivants, on ´ etudie le mod` ele des urnes et des boules.
Il s’agit de r´ epartir r boules dans n urnes et l’on suppose les r´ epartitions
´ equiprobables. Cependant, on obtient diff´ erentes situations suivant que l’on
consid` ere les boules et les urnes comme discernables ou indiscernables. Tous
ces mod` eles sont effectivement utilis´ es en m´ ecanique statistique.
8. Boules et urnes discernables (mod` ele de Maxwell-Boltzmann)
a) L’ensemble Ω de toutes les r´ epartitions possibles est l’ensemble Ω de
toutes les suites (ω 1 , . . . , ω r ), de longueur r, o` u ω j d´ esigne l’urne contenant
la j
i` eme boule (j = 1, . . . , r). Le cardinal de Ω est donc n
r . On prend comme
probabilit´ e sur Ω l’´ equir´ epartition P.
b) On d´ esigne par A i l’´ ev` enement la i
i` eme urne est vide (i = 1, . . . , n).
On a :
P(A i ) =
1 −
1
n
r
pour tout i = 1, . . . , n.
c) Soit B l’´ ev` enement chaque urne contient au plus une boule . On a :
P(B) =
n(n − 1) . . . (n − r + 1)
n r
.
Cette quantit´ e est nulle si r ≥ n + 1.
d) Soit C ik l’´ ev` enement la i
i` eme urne contient exactement k boules
(1 ≤ i ≤ n ; 0 ≤ k ≤ r). Les k boules peuvent ˆ etre choisies de
r
k
fa¸ cons
et les (r − k) boules restantes peuvent ˆ etre plac´ ees dans les (n − 1) urnes
restantes de (n − 1)
r−k fa¸ cons. On a donc :
P(C ik ) =
1
n r
r
k
(n − 1)
r−k =
r
k
1
n
k
1 −
1
n
r−k
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