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CHAPITRE 4 : PROBABILIT ´
ES DISCR `
ETES. D ´
ENOMBREMENTS
4. — Une caisse contient dix paires de chaussures (en vrac), dont
les miennes. On retire au hasard quatre chaussures. On veut calculer la
probabilit´ e pour que, parmi ces quatre chaussures, se trouve ma paire, ou
encore la probabilit´ e pour que, parmi ces quatre chaussures, se trouve au
moins une paire.
Les dix chaussures droites (resp. gauches) sont num´ erot´ ees : (1, d), (2, d),
. . . , (10, d) (resp. (1, g), (2, g), . . . , (10, g)). Soit X l’ensemble form´ e par ces
vingt num´ eros.
a) Construire un triplet (Ω, A, P) qui d´ ecrit cette exp´ erience. On choisira
Ω de telle fa¸ con qu’il soit raisonnable de prendre pour P l’´ equir´ epartition
sur Ω.
b) D´ eterminer le sous-ensemble A i de Ω qui correspond `
a l’´ ev` enement :
parmi les quatre chaussures retir´ ees se trouve la i
i` eme paire (i = 1, . . . , 10).
c) Calculer P(A i ) (i = 1, . . . , 10).
d) Soit (i 1 , . . . , i k ) une suite strictement croissante d’entiers compris
entre 1 et 10. Calculer P(A i 1 ∩ · · · ∩ A i k ) pour k = 2, puis pour k ≥ 3.
e) En d´ eduire la probabilit´ e pour que, parmi ces quatre chaussures, se
trouve au moins une paire.
5. — On tire au hasard quatre cartes d’un jeu de cinquante-deux cartes.
Quelle est la probabilit´ e pour que, parmi ces quatre cartes, il y ait exactement
deux rois ? L’hypoth` ese au hasard am` ene ` a prendre l’´ equir´ epartition sur
un certain ensemble fondamental Ω. Pr´ eciser lequel.
6. Jeu de Passe-Dix . — On lance trois d´ es parfaits. Montrer que la
probabilit´ e pour que la somme des points amen´ es d´ epasse dix est ´ egale ` a la
probabilit´ e pour que cette somme ne d´ epasse pas dix.
7. Le Paradoxe du Chevalier de M´ er´ e. — Ce personnage marquant de
la cour de Louis XIV, qui avait tr` es bon esprit mais n’´ etait pas g´ eom` etre
(cf. lettre de Pascal ` a Fermat du 29 juillet 1654) ´ etait un joueur imp´ enitent,
toujours `
a la recherche de r` egles cach´ ees lui permettant de r´ ealiser un
avantage sur ses adversaires. Voici deux de ses r` egles .
a) Il est avantageux de parier sur l’apparition d’au moins un “six”
en lan¸ cant un d´ e quatre fois de suite. Cette r` egle est bonne puisque la
probabilit´ e de l’´ ev` enement qui nous int´ eresse est :
1 −
5
6
4
= 0, 517747 >
1
2
.
La diff´ erence avec
1
2 est faible, mais apte `
a fournir `
a long terme des gains
assur´ es ; le Chevalier devait jouer souvent !
b) Il est avantageux de parier sur l’apparition d’au moins un “doublesix” en lan¸ cant deux d´ es vingt-quatre fois de suite. Cette r` egle est mauvaise,
CHAPITRE 4 : PROBABILIT ´
ES DISCR `
ETES. D ´
ENOMBREMENTS
4. — Une caisse contient dix paires de chaussures (en vrac), dont
les miennes. On retire au hasard quatre chaussures. On veut calculer la
probabilit´ e pour que, parmi ces quatre chaussures, se trouve ma paire, ou
encore la probabilit´ e pour que, parmi ces quatre chaussures, se trouve au
moins une paire.
Les dix chaussures droites (resp. gauches) sont num´ erot´ ees : (1, d), (2, d),
. . . , (10, d) (resp. (1, g), (2, g), . . . , (10, g)). Soit X l’ensemble form´ e par ces
vingt num´ eros.
a) Construire un triplet (Ω, A, P) qui d´ ecrit cette exp´ erience. On choisira
Ω de telle fa¸ con qu’il soit raisonnable de prendre pour P l’´ equir´ epartition
sur Ω.
b) D´ eterminer le sous-ensemble A i de Ω qui correspond `
a l’´ ev` enement :
parmi les quatre chaussures retir´ ees se trouve la i
i` eme paire (i = 1, . . . , 10).
c) Calculer P(A i ) (i = 1, . . . , 10).
d) Soit (i 1 , . . . , i k ) une suite strictement croissante d’entiers compris
entre 1 et 10. Calculer P(A i 1 ∩ · · · ∩ A i k ) pour k = 2, puis pour k ≥ 3.
e) En d´ eduire la probabilit´ e pour que, parmi ces quatre chaussures, se
trouve au moins une paire.
5. — On tire au hasard quatre cartes d’un jeu de cinquante-deux cartes.
Quelle est la probabilit´ e pour que, parmi ces quatre cartes, il y ait exactement
deux rois ? L’hypoth` ese au hasard am` ene ` a prendre l’´ equir´ epartition sur
un certain ensemble fondamental Ω. Pr´ eciser lequel.
6. Jeu de Passe-Dix . — On lance trois d´ es parfaits. Montrer que la
probabilit´ e pour que la somme des points amen´ es d´ epasse dix est ´ egale ` a la
probabilit´ e pour que cette somme ne d´ epasse pas dix.
7. Le Paradoxe du Chevalier de M´ er´ e. — Ce personnage marquant de
la cour de Louis XIV, qui avait tr` es bon esprit mais n’´ etait pas g´ eom` etre
(cf. lettre de Pascal ` a Fermat du 29 juillet 1654) ´ etait un joueur imp´ enitent,
toujours `
a la recherche de r` egles cach´ ees lui permettant de r´ ealiser un
avantage sur ses adversaires. Voici deux de ses r` egles .
a) Il est avantageux de parier sur l’apparition d’au moins un “six”
en lan¸ cant un d´ e quatre fois de suite. Cette r` egle est bonne puisque la
probabilit´ e de l’´ ev` enement qui nous int´ eresse est :
1 −
5
6
4
= 0, 517747 >
1
2
.
La diff´ erence avec
1
2 est faible, mais apte `
a fournir `
a long terme des gains
assur´ es ; le Chevalier devait jouer souvent !
b) Il est avantageux de parier sur l’apparition d’au moins un “doublesix” en lan¸ cant deux d´ es vingt-quatre fois de suite. Cette r` egle est mauvaise,