COMPL ´
EMENTS ET EXERCICES
39
Lorsque n → ∞, cette quantit´ e tend vers : 1 − e
−1
≈ 0, 63212. On se
convaincra que pour des valeurs mod´ er´ ees de n, en fait d` es que n = 7, la
probabilit´ e P(A) est d´ ej` a tr` es proche de sa limite.
b) Soit B l’´ ev` enement : il n’y a aucune rencontre . Alors B = E
c
1 ∩ · · · ∩
E
c
n = (E 1 ∪ · · · ∪ E n )
c = A
c . D’o` u
P(B) = 1 − P(A) =
n
k=0
(−1)
k
k!
.
Lorsque n → ∞, cette quantit´ e tend vers e
−1
≈ 0, 36788.
c) Posons d n = n! P(B) = n!
n
k=0 (−1)
k /k!. C’est ´ evidemment un entier
sup´ erieur ou ´ egal ` a 1 qui compte le nombre de permutations, parmi les n!
possibles, qui ne pr´ esentent aucune rencontre, c’est-` a-dire telles qu’` a aucun
rang ne figure un num´ ero ´ egal ` a ce rang. Le nombre d n est appel´ e le nombre
de d´ erangements de n objets.
Exemple 1. — Un facteur poss` ede n lettres adress´ ees ` a n destinataires
deux `
a deux distincts. Alors d n est le nombre de mani` eres diff´ erentes dont il
peut poster les lettres de telle fa¸ con qu’aucune n’arrive `
a destination.
Exemple 2. — Quel est le nombre de mani` eres de disposer huit tours sur
un ´ echiquier de telle sorte qu’aucune tour ne puisse en attaquer une autre
et que la diagonale blanche soit libre de tours ? On voit que la solution est
d 8 = 14.833.
d) Soit C l’´ ev` enement il y a exactement une rencontre . On peut montrer
que
P(C) =
n−1
k=0
(−1)
k
k!
.
Cette quantit´ e tend vers e
−1 lorsque n → ∞ ; d’autre part, P(B) − P(C) =
(−1)
n /n! → 0, de sorte que, pour n grand, la probabilit´ e pour qu’il n’y ait
aucune rencontre est pratiquement ´ egale ` a celle pour qu’il y ait exactement
une rencontre.
3. — Prenons Ω = N
∗ . On d´ esigne par D la classe des parties A de N
∗
pour lesquelles la limite suivante existe :
d(A) = lim
n→∞
card(A ∩ {1, . . . , n})
n
.
Cette limite est alors appel´ ee la densit´ e arithm´ etique de A. On v´ erifie que
Ω ∈ D, que D est stable par passage au compl´ ementaire et que D est stable
par r´ eunion disjointe finie. Ainsi D est une classe de Dynkin faible.
Remarque. — La classe D n’est pas stable par intersection ; ce n’est pas
une alg` ebre. L’application d : D → R
+ est simplement additive, mais n’est
pas σ-additive sur D.
EMENTS ET EXERCICES
39
Lorsque n → ∞, cette quantit´ e tend vers : 1 − e
−1
≈ 0, 63212. On se
convaincra que pour des valeurs mod´ er´ ees de n, en fait d` es que n = 7, la
probabilit´ e P(A) est d´ ej` a tr` es proche de sa limite.
b) Soit B l’´ ev` enement : il n’y a aucune rencontre . Alors B = E
c
1 ∩ · · · ∩
E
c
n = (E 1 ∪ · · · ∪ E n )
c = A
c . D’o` u
P(B) = 1 − P(A) =
n
k=0
(−1)
k
k!
.
Lorsque n → ∞, cette quantit´ e tend vers e
−1
≈ 0, 36788.
c) Posons d n = n! P(B) = n!
n
k=0 (−1)
k /k!. C’est ´ evidemment un entier
sup´ erieur ou ´ egal ` a 1 qui compte le nombre de permutations, parmi les n!
possibles, qui ne pr´ esentent aucune rencontre, c’est-` a-dire telles qu’` a aucun
rang ne figure un num´ ero ´ egal ` a ce rang. Le nombre d n est appel´ e le nombre
de d´ erangements de n objets.
Exemple 1. — Un facteur poss` ede n lettres adress´ ees ` a n destinataires
deux `
a deux distincts. Alors d n est le nombre de mani` eres diff´ erentes dont il
peut poster les lettres de telle fa¸ con qu’aucune n’arrive `
a destination.
Exemple 2. — Quel est le nombre de mani` eres de disposer huit tours sur
un ´ echiquier de telle sorte qu’aucune tour ne puisse en attaquer une autre
et que la diagonale blanche soit libre de tours ? On voit que la solution est
d 8 = 14.833.
d) Soit C l’´ ev` enement il y a exactement une rencontre . On peut montrer
que
P(C) =
n−1
k=0
(−1)
k
k!
.
Cette quantit´ e tend vers e
−1 lorsque n → ∞ ; d’autre part, P(B) − P(C) =
(−1)
n /n! → 0, de sorte que, pour n grand, la probabilit´ e pour qu’il n’y ait
aucune rencontre est pratiquement ´ egale ` a celle pour qu’il y ait exactement
une rencontre.
3. — Prenons Ω = N
∗ . On d´ esigne par D la classe des parties A de N
∗
pour lesquelles la limite suivante existe :
d(A) = lim
n→∞
card(A ∩ {1, . . . , n})
n
.
Cette limite est alors appel´ ee la densit´ e arithm´ etique de A. On v´ erifie que
Ω ∈ D, que D est stable par passage au compl´ ementaire et que D est stable
par r´ eunion disjointe finie. Ainsi D est une classe de Dynkin faible.
Remarque. — La classe D n’est pas stable par intersection ; ce n’est pas
une alg` ebre. L’application d : D → R
+ est simplement additive, mais n’est
pas σ-additive sur D.