CHAPITRE 4
PROBABILIT ´
ES DISCR `
ETES. D ´
ENOMBREMENTS
Dans ce chapitre on ´ etudie les mesures de probabilit´ e port´ ees par un
ensemble fini ou d´ enombrable. Lorsque l’ensemble a des propri´ et´ es g´ eom´ etriques ou alg´ ebriques suppl´ ementaires, on exploite celles-ci pour en d´ eduire des
´ evaluations pr´ ecises de probabilit´ es d’´ ev` enements. Les techniques d’´ evaluation rel` event souvent de l’analyse combinatoire. Il nous a donc paru utile de
donner un expos´ e d´ etaill´ e des d´ enombrements classiques.
1. Mesures de probabilit´ e discr` etes. — Soient (Ω, A) un espace
probabilisable et ω 0 un ´ el´ ement de Ω ; on appelle mesure de probabilit´ e
singuli` ere en ω 0 la mesure de probabilit´ e, not´ ee ε ω 0 , qui, `
a tout ´ ev` enement A,
fait correspondre la valeur :
ε ω 0 (A) =
1, si ω 0 ∈ A ;
0, si ω 0 /
∈ A.
On dit encore que la masse unit´ e est concentr´ ee en ω 0 . La mesure ε ω 0 est
aussi appel´ ee mesure de Dirac en ω 0 .
D´ efinition. — Soit ((α n , ω n )) (n = 1, 2, . . . ) une suite infinie d’´ el´ ements
de R × Ω telle que
(i) α n ≥ 0 pour tout n = 1, 2, . . . ;
(ii)
∞
n=1
α n = 1.
L’application qui `
a tout ´ ev` enement A fait correspondre la valeur
P(A) =
n : ω n ∈A
α n ,
est appel´ ee mesure de probabilit´ e discr` ete (port´ ee par les ´ el´ ements ω n
pond´ er´ es par les poids α n ).
La sommation pr´ ec´ edente est faite sur un ensemble au plus d´ enombrable
et les nombres α n sont positifs. Il n’y a donc aucune ambigu¨ ıt´ e dans cette
d´ efinition. Il est commode de noter cette mesure discr` ete : P =
n
α n ε ω n .
Remarque. — Toute mesure de probabilit´ e sur un espace Ω fini ou
d´ enombrable est discr` ete. Cependant on peut toujours munir un espace
(Ω, A), o` u Ω a la puissance du continu, d’une mesure de probabilit´ e discr` ete.
PROBABILIT ´
ES DISCR `
ETES. D ´
ENOMBREMENTS
Dans ce chapitre on ´ etudie les mesures de probabilit´ e port´ ees par un
ensemble fini ou d´ enombrable. Lorsque l’ensemble a des propri´ et´ es g´ eom´ etriques ou alg´ ebriques suppl´ ementaires, on exploite celles-ci pour en d´ eduire des
´ evaluations pr´ ecises de probabilit´ es d’´ ev` enements. Les techniques d’´ evaluation rel` event souvent de l’analyse combinatoire. Il nous a donc paru utile de
donner un expos´ e d´ etaill´ e des d´ enombrements classiques.
1. Mesures de probabilit´ e discr` etes. — Soient (Ω, A) un espace
probabilisable et ω 0 un ´ el´ ement de Ω ; on appelle mesure de probabilit´ e
singuli` ere en ω 0 la mesure de probabilit´ e, not´ ee ε ω 0 , qui, `
a tout ´ ev` enement A,
fait correspondre la valeur :
ε ω 0 (A) =
1, si ω 0 ∈ A ;
0, si ω 0 /
∈ A.
On dit encore que la masse unit´ e est concentr´ ee en ω 0 . La mesure ε ω 0 est
aussi appel´ ee mesure de Dirac en ω 0 .
D´ efinition. — Soit ((α n , ω n )) (n = 1, 2, . . . ) une suite infinie d’´ el´ ements
de R × Ω telle que
(i) α n ≥ 0 pour tout n = 1, 2, . . . ;
(ii)
∞
n=1
α n = 1.
L’application qui `
a tout ´ ev` enement A fait correspondre la valeur
P(A) =
n : ω n ∈A
α n ,
est appel´ ee mesure de probabilit´ e discr` ete (port´ ee par les ´ el´ ements ω n
pond´ er´ es par les poids α n ).
La sommation pr´ ec´ edente est faite sur un ensemble au plus d´ enombrable
et les nombres α n sont positifs. Il n’y a donc aucune ambigu¨ ıt´ e dans cette
d´ efinition. Il est commode de noter cette mesure discr` ete : P =
n
α n ε ω n .
Remarque. — Toute mesure de probabilit´ e sur un espace Ω fini ou
d´ enombrable est discr` ete. Cependant on peut toujours munir un espace
(Ω, A), o` u Ω a la puissance du continu, d’une mesure de probabilit´ e discr` ete.