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CHAPITRE 3 : ESPACES PROBABILIS ´
ES
Montrer que P est une mesure de probabilit´ e sur A. [Si d´ enombrable
signifie infini et d´ enombrable , alors A n’est mˆ eme pas une alg` ebre !]
9. — Soient (A 1 , . . . , A n ) (n ≥ 0) une suite de parties de Ω et A l’alg` ebre
engendr´ ee par la classe {A 1 , . . . , A n }. Soient, en outre, (c 1 , . . . , c m ) une suite
de r´ eels et (B 1 , . . . , B m ) une suite d’´ el´ ements de A (m ≥ 0). On consid` ere
l’in´ egalit´ e
(1)
n
k=1
c k P(B k ) ≥ 0,
o` u P est une mesure de probabilit´ e sur A. Alors les deux propri´ et´ es suivantes
sont ´ equivalentes :
a) L’in´ egalit´ e (1) est vraie pour toute mesure de probabilit´ e P sur A.
b) L’in´ egalit´ e (1) est vraie pour toute P v´ erifiant P(A i ) = 0 ou 1, pour
tout i = 1, 2, . . . , n.
10. — On pose S
n
0 = 1, S
n
k =
1≤i 1 <··· P(A i 1 ∩ · · · ∩ A i k ) (1 ≤ k ≤ n)
et on d´ esigne par V
r
n (resp. W
r
n , resp. Imp(A i )) la probabilit´ e pour que r
exactement (resp. pour qu’au moins r, resp. pour qu’un nombre impair) des
´ ev` enements A 1 , . . . , A n se r´ ealisent (0 ≤ r ≤ n). A l’aide de l’exercice 9
r´ etablir la formule de Poincar´ e, puis d´ emontrer les formules
V
r
n =
n−r
k=0
(−1)
k
r + k
k
S
n
r+k ; W
r
n =
n−r
k=0
(−1)
k
r + k − 1
k
S
n
r+k ;
Imp(A i ) =
n
j=1
(−1)
j−1 2
j−1 S
n
j .
11. — Soit (Ω, A) un espace probabilisable. Consid´ erons une application P
de A dans R
+ v´ erifiant :
a) 0 ≤ P(A) ≤ 1 pour tout A ∈ A ;
b) P(Ω) = 1 ;
c) pour tout entier n ≥ 1 et tout n-uple (A 1 , . . . , A n ) d’´ el´ ements de A
deux `
a deux disjoints, l’identit´ e
P(A 1 ∪ · · · ∪ A n ) = P(A 1 ) + · · · + P(A n ).
(Propri´ et´ e d’additivit´ e simple.)
Montrer que si (A n ) (n ≥ 1) est une suite d’´ el´ ements deux ` a deux disjoints,
et si A =
n≥1 A n , alors P(A) ≥
n≥1 P(A n ). (L’axiome P3 de σ-additivit´ e
remplace, dans cette derni` ere formule, l’in´ egalit´ e par l’´ egalit´ e.)
12. — ´
Etablir l’identit´ e binomiale (5.2.1) en utilisant les indications
donn´ ees dans le texte.
13. — Apr` es avoir obtenu le d´ eveloppement en s´ erie de Taylor, au
voisinage de 0, des fonctions sin x, cos x, ln(1 + x), arctg x, arcsin x, exprimer
ces d´ eveloppements en s´ erie ` a l’aide des fonctions hyperg´ eom´ etriques.
CHAPITRE 3 : ESPACES PROBABILIS ´
ES
Montrer que P est une mesure de probabilit´ e sur A. [Si d´ enombrable
signifie infini et d´ enombrable , alors A n’est mˆ eme pas une alg` ebre !]
9. — Soient (A 1 , . . . , A n ) (n ≥ 0) une suite de parties de Ω et A l’alg` ebre
engendr´ ee par la classe {A 1 , . . . , A n }. Soient, en outre, (c 1 , . . . , c m ) une suite
de r´ eels et (B 1 , . . . , B m ) une suite d’´ el´ ements de A (m ≥ 0). On consid` ere
l’in´ egalit´ e
(1)
n
k=1
c k P(B k ) ≥ 0,
o` u P est une mesure de probabilit´ e sur A. Alors les deux propri´ et´ es suivantes
sont ´ equivalentes :
a) L’in´ egalit´ e (1) est vraie pour toute mesure de probabilit´ e P sur A.
b) L’in´ egalit´ e (1) est vraie pour toute P v´ erifiant P(A i ) = 0 ou 1, pour
tout i = 1, 2, . . . , n.
10. — On pose S
n
0 = 1, S
n
k =
1≤i 1 <··· P(A i 1 ∩ · · · ∩ A i k ) (1 ≤ k ≤ n)
et on d´ esigne par V
r
n (resp. W
r
n , resp. Imp(A i )) la probabilit´ e pour que r
exactement (resp. pour qu’au moins r, resp. pour qu’un nombre impair) des
´ ev` enements A 1 , . . . , A n se r´ ealisent (0 ≤ r ≤ n). A l’aide de l’exercice 9
r´ etablir la formule de Poincar´ e, puis d´ emontrer les formules
V
r
n =
n−r
k=0
(−1)
k
r + k
k
S
n
r+k ; W
r
n =
n−r
k=0
(−1)
k
r + k − 1
k
S
n
r+k ;
Imp(A i ) =
n
j=1
(−1)
j−1 2
j−1 S
n
j .
11. — Soit (Ω, A) un espace probabilisable. Consid´ erons une application P
de A dans R
+ v´ erifiant :
a) 0 ≤ P(A) ≤ 1 pour tout A ∈ A ;
b) P(Ω) = 1 ;
c) pour tout entier n ≥ 1 et tout n-uple (A 1 , . . . , A n ) d’´ el´ ements de A
deux `
a deux disjoints, l’identit´ e
P(A 1 ∪ · · · ∪ A n ) = P(A 1 ) + · · · + P(A n ).
(Propri´ et´ e d’additivit´ e simple.)
Montrer que si (A n ) (n ≥ 1) est une suite d’´ el´ ements deux ` a deux disjoints,
et si A =
n≥1 A n , alors P(A) ≥
n≥1 P(A n ). (L’axiome P3 de σ-additivit´ e
remplace, dans cette derni` ere formule, l’in´ egalit´ e par l’´ egalit´ e.)
12. — ´
Etablir l’identit´ e binomiale (5.2.1) en utilisant les indications
donn´ ees dans le texte.
13. — Apr` es avoir obtenu le d´ eveloppement en s´ erie de Taylor, au
voisinage de 0, des fonctions sin x, cos x, ln(1 + x), arctg x, arcsin x, exprimer
ces d´ eveloppements en s´ erie ` a l’aide des fonctions hyperg´ eom´ etriques.