COMPL ´
EMENTS ET EXERCICES
23
5. — Soit (Ω, A, P) un espace probabilis´ e. La diff´ erence sym´ etrique entre
deux ´ el´ ements A, B ∈ A est d´ efinie par : A B = (A ∩ B
c ) ∪ (A
c
∩ B).
Montrer que :
a) la fonction d(A, B) = P(A B) est une distance sur A ;
b) |P(A) − P(B)| ≤ P(A B).
6. — Soit (A n ) (n ≥ 1) une suite d’´ ev` enements associ´ es ` a un espace
probabilis´ e (Ω, A, P). Alors on a les in´ egalit´ es de Fatou :
P(lim inf n A n ) ≤ lim inf n P(A n ) ;
(1)
lim sup n P(A n ) ≤ P(lim sup n A n ) ;
(2)
Posons A ∗ = lim inf n A n , A
∗ = lim sup n A n . Si A ∗ = A
∗ , on dit que la
suite (A n ) (n ≥ 1) est convergente et sa limite, not´ ee lim n A n , est la valeur
commune de A ∗ et de A
∗ . Dans ce cas, les deux in´ egalit´ es (1) et (2) montrent
que la suite num´ erique (P(A n )) (n ≥ 1) admet une limite (au sens usuel) et
que l’on a : P(lim n A n ) = lim n P(A n ). Construire un exemple o` u chacune des
in´ egalit´ es de Fatou (1), (2) est une in´ egalit´ e stricte.
7. — Soit Ω un ensemble infini (par exemple N) et soit A la classe des
parties de Ω qui sont finies ou cofinies (c’est-` a-dire ayant des compl´ ementaires
finis).
a) Montrer que A est une alg` ebre, mais non une σ-alg` ebre.
b) Montrer que A est l’alg` ebre engendr´ ee par la classe C des parties de
Ω r´ eduites ` a un seul ´ el´ ement.
c) On d´ esigne par P l’application de A dans R
+ d´ efinie par :
P(A) =
0, si A est fini ;
1, si A est cofini.
Montrer que P est simplement additive sur A, mais n’est pas σ-additive sur A
(c’est-` a-dire si, pour toute suite (A n ) d’´ el´ ements deux ` a deux disjoints de A,
on a
n≥1 A n ∈ A, mais non n´ ecessairement P(
n≥1 A n ) =
n≥1 P(A n ).)
8. — Soit Ω un ensemble infini non d´ enombrable (par exemple R) et soit A
la classe des parties de Ω qui sont d´ enombrables ou cod´ enombrables (c’est-` adire compl´ ementaires de sous-ensembles d´ enombrables). Ici d´ enombrable
signifie fini ou infini d´ enombrable .
a) Montrer que A est une tribu.
b) Montrer que A est la tribu engendr´ ee par la classe C des parties de Ω
r´ eduites ` a un seul ´ el´ ement.
c) On d´ esigne par P l’application de A dans R
+ d´ efinie par :
P(A) =
0, si A est d´ enombrable ;
1, si A est cod´ enombrable.
EMENTS ET EXERCICES
23
5. — Soit (Ω, A, P) un espace probabilis´ e. La diff´ erence sym´ etrique entre
deux ´ el´ ements A, B ∈ A est d´ efinie par : A B = (A ∩ B
c ) ∪ (A
c
∩ B).
Montrer que :
a) la fonction d(A, B) = P(A B) est une distance sur A ;
b) |P(A) − P(B)| ≤ P(A B).
6. — Soit (A n ) (n ≥ 1) une suite d’´ ev` enements associ´ es ` a un espace
probabilis´ e (Ω, A, P). Alors on a les in´ egalit´ es de Fatou :
P(lim inf n A n ) ≤ lim inf n P(A n ) ;
(1)
lim sup n P(A n ) ≤ P(lim sup n A n ) ;
(2)
Posons A ∗ = lim inf n A n , A
∗ = lim sup n A n . Si A ∗ = A
∗ , on dit que la
suite (A n ) (n ≥ 1) est convergente et sa limite, not´ ee lim n A n , est la valeur
commune de A ∗ et de A
∗ . Dans ce cas, les deux in´ egalit´ es (1) et (2) montrent
que la suite num´ erique (P(A n )) (n ≥ 1) admet une limite (au sens usuel) et
que l’on a : P(lim n A n ) = lim n P(A n ). Construire un exemple o` u chacune des
in´ egalit´ es de Fatou (1), (2) est une in´ egalit´ e stricte.
7. — Soit Ω un ensemble infini (par exemple N) et soit A la classe des
parties de Ω qui sont finies ou cofinies (c’est-` a-dire ayant des compl´ ementaires
finis).
a) Montrer que A est une alg` ebre, mais non une σ-alg` ebre.
b) Montrer que A est l’alg` ebre engendr´ ee par la classe C des parties de
Ω r´ eduites ` a un seul ´ el´ ement.
c) On d´ esigne par P l’application de A dans R
+ d´ efinie par :
P(A) =
0, si A est fini ;
1, si A est cofini.
Montrer que P est simplement additive sur A, mais n’est pas σ-additive sur A
(c’est-` a-dire si, pour toute suite (A n ) d’´ el´ ements deux ` a deux disjoints de A,
on a
n≥1 A n ∈ A, mais non n´ ecessairement P(
n≥1 A n ) =
n≥1 P(A n ).)
8. — Soit Ω un ensemble infini non d´ enombrable (par exemple R) et soit A
la classe des parties de Ω qui sont d´ enombrables ou cod´ enombrables (c’est-` adire compl´ ementaires de sous-ensembles d´ enombrables). Ici d´ enombrable
signifie fini ou infini d´ enombrable .
a) Montrer que A est une tribu.
b) Montrer que A est la tribu engendr´ ee par la classe C des parties de Ω
r´ eduites ` a un seul ´ el´ ement.
c) On d´ esigne par P l’application de A dans R
+ d´ efinie par :
P(A) =
0, si A est d´ enombrable ;
1, si A est cod´ enombrable.