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CHAPITRE 3 : ESPACES PROBABILIS ´
ES
COMPL ´
EMENTS ET EXERCICES
1. — Proc´ edons ` a deux jets cons´ ecutifs d’une pi` ece de monnaie parfaite ; le
triplet (Ω, A, P) suivant est g´ en´ eralement utilis´ e pour d´ ecrire cette exp´ erience.
On prend pour Ω l’ensemble dont les ´ el´ ements sont les quatre issues possibles
de l’exp´ erience : (P, P ), (P, F ), (F, P ), (F, F ), o` u (P, F ), par exemple, d´ esigne
l’issue consistant ` a amener pile au premier jet et face au second. Pour
A on prend P(Ω) et pour P la mesure de probabilit´ e uniforme sur (Ω, P(Ω)),
` a savoir celle d´ efinie par P({ω}) = 1/4 pour tout ω ∈ Ω. Soient alors les
deux ´ ev` enements : A amener “pile” au premier jet ; B amener “face” au
second jet . D´ ecrire A, B comme ´ el´ ements de P(Ω) ; calculer P(A ∪ B).
2. Diff´ erence entre lancer une pi` ece n fois de suite et lancer simultan´ ement n pi` eces . — Le pr´ esent exercice consiste ` a construire des triplets
(Ω, A, P) associ´ es aux deux exp´ eriences suivantes :
a) On proc` ede ` a n jets cons´ ecutifs d’une pi` ece de monnaie parfaite :
Ω = {P, F }×· · ·×{P, F } = {P, F }
n , o` u {P, F } d´ esigne l’ensemble contenant
les deux ´ el´ ements P ( pile ) et F ( face ), A = P(Ω), P est l’´ equir´ epartition
sur Ω. On a card Ω = 2
n , card A = 2
2
n , P({ω}) = 1/2
n pour tout ω ∈ Ω.
b) On proc` ede ` a un jet simultan´ e de n pi` eces de monnaie parfaites
et indiscernables. On prend Ω = {ω 0 , ω 1 , . . . , ω n }, o` u ω k (k = 0, 1, . . . , n)
d´ esigne l’´ epreuve consistant `
a amener k pile sur les n pi` eces de monnaie
lanc´ ees ; on prend, de plus, A = P(Ω). On a card Ω = n + 1 et card A = 2
n+1 .
Comme mesure de probabilit´ e, il est contre-indiqu´ e de prendre l’´ equir´ epartition. Un peu de r´ eflexion montre qu’il convient de prendre P telle que, pour
k = 0, 1, . . . , n, on ait P({ω k }) =
n
k
/2
n . L’exp´ erience b) est bien plus pauvre
que a). Citer des ´ ev` enements associ´ es ` a l’exp´ erience a) qui n’ont plus aucun
sens dans b).
3. — On proc` ede ` a deux jets cons´ ecutifs d’un d´ e parfait. Construire un
triplet (Ω, A, P) qui d´ ecrit cette exp´ erience. On consid` ere ensuite les deux
´ ev` enements : A la somme des points amen´ es par les deux jets est impaire ;
B le point 1 est amen´ e au moins une fois .
a) Interpr´ eter les ´ ev` enements : A ∩ B, A ∪ B, A ∩ B
c .
b) Calculer leurs probabilit´ es.
4. — Montrer que la formule de Poincar´ e (cf. Proposition 3.1) est encore
vraie en ´ echangeant les signes ∪ et ∩ ; en d’autres termes, montrer que
l’on a :
P(A 1 ∩ · · · ∩ A n ) =
n
k=1
(−1)
k−1
1≤i 1 <··· P(A i 1 ∪ · · · ∪ A i k ).
CHAPITRE 3 : ESPACES PROBABILIS ´
ES
COMPL ´
EMENTS ET EXERCICES
1. — Proc´ edons ` a deux jets cons´ ecutifs d’une pi` ece de monnaie parfaite ; le
triplet (Ω, A, P) suivant est g´ en´ eralement utilis´ e pour d´ ecrire cette exp´ erience.
On prend pour Ω l’ensemble dont les ´ el´ ements sont les quatre issues possibles
de l’exp´ erience : (P, P ), (P, F ), (F, P ), (F, F ), o` u (P, F ), par exemple, d´ esigne
l’issue consistant ` a amener pile au premier jet et face au second. Pour
A on prend P(Ω) et pour P la mesure de probabilit´ e uniforme sur (Ω, P(Ω)),
` a savoir celle d´ efinie par P({ω}) = 1/4 pour tout ω ∈ Ω. Soient alors les
deux ´ ev` enements : A amener “pile” au premier jet ; B amener “face” au
second jet . D´ ecrire A, B comme ´ el´ ements de P(Ω) ; calculer P(A ∪ B).
2. Diff´ erence entre lancer une pi` ece n fois de suite et lancer simultan´ ement n pi` eces . — Le pr´ esent exercice consiste ` a construire des triplets
(Ω, A, P) associ´ es aux deux exp´ eriences suivantes :
a) On proc` ede ` a n jets cons´ ecutifs d’une pi` ece de monnaie parfaite :
Ω = {P, F }×· · ·×{P, F } = {P, F }
n , o` u {P, F } d´ esigne l’ensemble contenant
les deux ´ el´ ements P ( pile ) et F ( face ), A = P(Ω), P est l’´ equir´ epartition
sur Ω. On a card Ω = 2
n , card A = 2
2
n , P({ω}) = 1/2
n pour tout ω ∈ Ω.
b) On proc` ede ` a un jet simultan´ e de n pi` eces de monnaie parfaites
et indiscernables. On prend Ω = {ω 0 , ω 1 , . . . , ω n }, o` u ω k (k = 0, 1, . . . , n)
d´ esigne l’´ epreuve consistant `
a amener k pile sur les n pi` eces de monnaie
lanc´ ees ; on prend, de plus, A = P(Ω). On a card Ω = n + 1 et card A = 2
n+1 .
Comme mesure de probabilit´ e, il est contre-indiqu´ e de prendre l’´ equir´ epartition. Un peu de r´ eflexion montre qu’il convient de prendre P telle que, pour
k = 0, 1, . . . , n, on ait P({ω k }) =
n
k
/2
n . L’exp´ erience b) est bien plus pauvre
que a). Citer des ´ ev` enements associ´ es ` a l’exp´ erience a) qui n’ont plus aucun
sens dans b).
3. — On proc` ede ` a deux jets cons´ ecutifs d’un d´ e parfait. Construire un
triplet (Ω, A, P) qui d´ ecrit cette exp´ erience. On consid` ere ensuite les deux
´ ev` enements : A la somme des points amen´ es par les deux jets est impaire ;
B le point 1 est amen´ e au moins une fois .
a) Interpr´ eter les ´ ev` enements : A ∩ B, A ∪ B, A ∩ B
c .
b) Calculer leurs probabilit´ es.
4. — Montrer que la formule de Poincar´ e (cf. Proposition 3.1) est encore
vraie en ´ echangeant les signes ∪ et ∩ ; en d’autres termes, montrer que
l’on a :
P(A 1 ∩ · · · ∩ A n ) =
n
k=1
(−1)
k−1
1≤i 1 <··· P(A i 1 ∪ · · · ∪ A i k ).