5. IDENTIT ´
ES BINOMIALES
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sommer la s´ erie 2 F 1 en x = 1, lorsque l’un des param` etres du num´ erateur est
un entier n´ egatif et que la s´ erie est en fait un polynˆ ome :
(5.2.2)
2 F 1
−n, a
c
; 1
=
(c − a) n
(c) n
,
c /
∈ −N.
Il est curieux d’observer le nombre impressionnant d’identit´ es binomiales qui
se ram` enent `
a (5.2.2).
Pour ´ etablir (5.2.2), on part de (1 − x)
−(a+b) = (1 − x)
−a (1 − x)
−b et on
d´ eveloppe en utilisant l’identit´ e binomiale. En prenant le coefficient de x
n
dans chacun des deux membres, on en d´ eduit
(a + b) n
n!
=
0≤k≤n
(a) k (b) n−k
k! (n − k)!
(n ≥ 0),
d’o` u l’on tire
(a + b) n
(b) n
=
0≤k≤n
(a) k (n − k + 1) k
(b + n − k) k k!
=
0≤k≤n
(a) k (−n) k
(1 − b − n) k k!
= 2 F 1
a, −n
1 − b − n
; 1
,
ou encore
(c − a) n
(c) n
= 2 F 1
−n, a
c
; 1
,
c ∈ −N.
5.4. Une manipulation de l’identit´ e de Chu-Vandermonde. — Pour ´ etablir
l’une des identit´ es qui g´ en´ eralisent la formule de Poincar´ e, par exemple, celle
qui permet de calculer la probabilit´ e pour qu’au moins r ´ ev` enements parmi
n ´ ev` enements donn´ es se r´ ealisent, on est amen´ e ` a prouver l’identit´ e :
l−r
k=0
(−1)
k
r + k − 1
r − 1
l
r + k
= 1
(r < l).
On exprime d’abord les coefficients binomiaux en fonction des factorielles
montantes, de sorte que le premier membre devient :
l−r
k=0
(−1)
k (r) k
k!
(−1)
r+k (−l) r+k
(r + k)!
= (−1)
r (−l) r
r!
l−r
k=0
(r) k
k!
(−l + r) k
(1 + r) k
= (−1)
r (−l) r
r!
2 F 1
−(l − r), r
r + 1
; 1
=
l
r
(1) l−r
(r + 1) l−r
=
l!
r! (l − r)!
(l − r)!
(r + 1) · · · l
= 1.