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CHAPITRE 3 : ESPACES PROBABILIS ´
ES
Le coefficient binomial est d´ efini pour tout nombre complexe a et tout
entier n ≥ 0 par
a
n
=
a(a − 1) · · · (a − n + 1)
n!
,
ou, en utilisant la notation des factorielles montantes,
a
n
= (−1)
n (−a) n
n!
.
Notons que la d´ efinition du coefficient binomial comme le rapport des
produits de factorielles a!/(n! (a − n)!) n’a de sens que si a est lui-mˆ eme
un entier positif.
5.2. Les fonctions hyperg´ eom´ etriques. — Soient p, q des entiers positifs et
(a 1 , . . . , a p ) et (b 1 , . . . , b q ) deux suites de nombres r´ eels. Si aucun des b i n’est
un entier n´ egatif ou nul, on d´ efinit la fonction hyperg´ eom´ etrique avec p et q
param` etres, comme ´ etant la s´ erie enti` ere en x complexe :
p F q
a 1 , . . . , a p
b 1 , . . . , b q
; x
=
n≥0
(a 1 ) n · · · (a p ) n
(b 1 ) n · · · (b q ) n
x
n
n!
.
Cette s´ erie converge pour tout x complexe, lorsque p ≤ q et pour |x| < 1,
lorsque p = q + 1. Lorsque p = 0 (resp. q = 0), on indique l’absence de
param` etres par un trait horizontal dans l’expression de F .
On note que si l’un des param` etres a i du num´ erateur est un entier n´ egatif
ou nul − m, la s´ erie hyperg´ eom´ etrique est un polynˆ ome en x de degr´ e au plus
´ egal ` a m, tous les termes (−m) n ´ etant nuls pour n ≥ m + 1.
La plupart des fonctions ´ el´ ementaires (cf. exercice 13) s’expriment ` a
l’aide des fonctions hyperg´ eom´ etriques. On ne trouve, en effet, dans leurs
d´ eveloppements en s´ erie, que des coefficients rationnels. Il est ainsi facile
d’obtenir les param` etres des fonctions hyperg´ eom´ etriques correspondantes.
On a, par exemple, la s´ erie exponentielle
exp x = 0 F 0
−
−
; x
=
n≥0
x
n
n!
;
et l’identit´ e binomiale
(1 − x)
−a = 1 F 0
a
−
; x
=
n≥0
(a) n
x
n
n!
(|x| < 1).
(5.2.1)
Pour ´ etablir cette derni` ere, on consid` ere le d´ eveloppement en s´ erie f a (x) =
n≥0 (a) n (x
n /n!) et l’on cherche des relations, d’une part entre f a (x) et sa
d´ eriv´ ee f
a (x), d’autre part entre f a (x) et f a+1 (x). On en d´ eduit une ´ equation
diff´ erentielle simple et, par int´ egration, on obtient f a (x) = (1 − x)
−a (cf.
exercice 12).
5.3. L’identit´ e de Chu-Vandermonde. — L’identit´ e binomiale donne la
sommation de la s´ erie 1 F 0 . L’identit´ e de Chu-Vandermonde permet de
CHAPITRE 3 : ESPACES PROBABILIS ´
ES
Le coefficient binomial est d´ efini pour tout nombre complexe a et tout
entier n ≥ 0 par
a
n
=
a(a − 1) · · · (a − n + 1)
n!
,
ou, en utilisant la notation des factorielles montantes,
a
n
= (−1)
n (−a) n
n!
.
Notons que la d´ efinition du coefficient binomial comme le rapport des
produits de factorielles a!/(n! (a − n)!) n’a de sens que si a est lui-mˆ eme
un entier positif.
5.2. Les fonctions hyperg´ eom´ etriques. — Soient p, q des entiers positifs et
(a 1 , . . . , a p ) et (b 1 , . . . , b q ) deux suites de nombres r´ eels. Si aucun des b i n’est
un entier n´ egatif ou nul, on d´ efinit la fonction hyperg´ eom´ etrique avec p et q
param` etres, comme ´ etant la s´ erie enti` ere en x complexe :
p F q
a 1 , . . . , a p
b 1 , . . . , b q
; x
=
n≥0
(a 1 ) n · · · (a p ) n
(b 1 ) n · · · (b q ) n
x
n
n!
.
Cette s´ erie converge pour tout x complexe, lorsque p ≤ q et pour |x| < 1,
lorsque p = q + 1. Lorsque p = 0 (resp. q = 0), on indique l’absence de
param` etres par un trait horizontal dans l’expression de F .
On note que si l’un des param` etres a i du num´ erateur est un entier n´ egatif
ou nul − m, la s´ erie hyperg´ eom´ etrique est un polynˆ ome en x de degr´ e au plus
´ egal ` a m, tous les termes (−m) n ´ etant nuls pour n ≥ m + 1.
La plupart des fonctions ´ el´ ementaires (cf. exercice 13) s’expriment ` a
l’aide des fonctions hyperg´ eom´ etriques. On ne trouve, en effet, dans leurs
d´ eveloppements en s´ erie, que des coefficients rationnels. Il est ainsi facile
d’obtenir les param` etres des fonctions hyperg´ eom´ etriques correspondantes.
On a, par exemple, la s´ erie exponentielle
exp x = 0 F 0
−
−
; x
=
n≥0
x
n
n!
;
et l’identit´ e binomiale
(1 − x)
−a = 1 F 0
a
−
; x
=
n≥0
(a) n
x
n
n!
(|x| < 1).
(5.2.1)
Pour ´ etablir cette derni` ere, on consid` ere le d´ eveloppement en s´ erie f a (x) =
n≥0 (a) n (x
n /n!) et l’on cherche des relations, d’une part entre f a (x) et sa
d´ eriv´ ee f
a (x), d’autre part entre f a (x) et f a+1 (x). On en d´ eduit une ´ equation
diff´ erentielle simple et, par int´ egration, on obtient f a (x) = (1 − x)
−a (cf.
exercice 12).
5.3. L’identit´ e de Chu-Vandermonde. — L’identit´ e binomiale donne la
sommation de la s´ erie 1 F 0 . L’identit´ e de Chu-Vandermonde permet de