5. IDENTIT ´
ES BINOMIALES
19
D´ emonstration. — Soit (A n ) une suite d’´ el´ ements de A disjoints deux
` a deux. Il suffit de prouver la σ-additivit´ e. Posons A =
∞
n=1 A n , B n =
n
k=1 A k et C n = A \ B n . La suite (C n ) est d´ ecroissante et tend vers ∅. De
l` a, si P satisfait la condition 3), on a lim n P(C n ) = 0 et donc
P(A) = P(B n ) + P(C n ) =
n
k=1
P(A k ) + P(C n ),
pour tout n.
P(A) =
∞
n=1
P(A n ).
D’o` u
De mˆ eme, la suite (B n ) est croissante et tend vers A. Si donc P satisfait la
condition 3
), on a :
P(A) = P
lim n
n
k=1
A k
= lim n
n
k=1
P(A k ) =
∞
k=1
P(A k ).
5. Identit´ es binomiales. — Dans l’´ evaluation des probabilit´ es de
certains ´ ev` enements, on fait usage de nombreuses identit´ es contenant des
coefficients binomiaux. Ces identit´ es se pr´ esentent sous des aspects vari´ es,
mais bien souvent elles ne sont que de simples cons´ equences de deux formules
classiques bien connues, d’abord l’identit´ e binomiale, ensuite l’identit´ e de
Chu-Vandermonde. Pour ´ etablir ces identit´ es, il est commode de se placer
dans le contexte des fonctions hyperg´ eom´ etriques. Nous nous proposons
de donner ici quelques ´ el´ ements sur ces fonctions et de d´ ecrire quelques
techniques de calcul les concernant.
5.1. Les factorielles montantes. — Soient a un nombre r´ eel ou complexe
et n un entier positif. La factorielle montante (a) n est d´ efinie par :
(a) n =
1,
si n = 0 ;
a(a + 1) · · · (a + n − 1), si n ≥ 1.
Pour prolonger la d´ efinition de (a) n ` a tout entier n ∈ Z, on utilise la fonction
gamma dont nous rappelons la d´ efinition. Pour a complexe telle que e a > 0
on d´ efinit Γ(a) =
+∞
0
e
−t t
a−1 dt ; pour a complexe diff´ erent de tout entier
nul ou n´ egatif, on d´ efinit Γ(a) par
Γ(a) =
Γ(a + n)
(a) n
,
en prenant n entier tel que n+e a > 0. On peut ainsi prolonger la d´ efinition
de (a) n pour tout entier n ∈ Z en posant :
(a) n =
Γ(a + n)
Γ(a)
.
Notons les propri´ et´ es suivantes, banales, mais fort utiles dans les calculs :
(a) i+j = (a) i (a + i) j ;
(a) n = (−1)
n (1 − n − a) n .
D’autre part, (−m) n = 0 si m, n sont des entiers positifs tels que n > m.
ES BINOMIALES
19
D´ emonstration. — Soit (A n ) une suite d’´ el´ ements de A disjoints deux
` a deux. Il suffit de prouver la σ-additivit´ e. Posons A =
∞
n=1 A n , B n =
n
k=1 A k et C n = A \ B n . La suite (C n ) est d´ ecroissante et tend vers ∅. De
l` a, si P satisfait la condition 3), on a lim n P(C n ) = 0 et donc
P(A) = P(B n ) + P(C n ) =
n
k=1
P(A k ) + P(C n ),
pour tout n.
P(A) =
∞
n=1
P(A n ).
D’o` u
De mˆ eme, la suite (B n ) est croissante et tend vers A. Si donc P satisfait la
condition 3
), on a :
P(A) = P
lim n
n
k=1
A k
= lim n
n
k=1
P(A k ) =
∞
k=1
P(A k ).
5. Identit´ es binomiales. — Dans l’´ evaluation des probabilit´ es de
certains ´ ev` enements, on fait usage de nombreuses identit´ es contenant des
coefficients binomiaux. Ces identit´ es se pr´ esentent sous des aspects vari´ es,
mais bien souvent elles ne sont que de simples cons´ equences de deux formules
classiques bien connues, d’abord l’identit´ e binomiale, ensuite l’identit´ e de
Chu-Vandermonde. Pour ´ etablir ces identit´ es, il est commode de se placer
dans le contexte des fonctions hyperg´ eom´ etriques. Nous nous proposons
de donner ici quelques ´ el´ ements sur ces fonctions et de d´ ecrire quelques
techniques de calcul les concernant.
5.1. Les factorielles montantes. — Soient a un nombre r´ eel ou complexe
et n un entier positif. La factorielle montante (a) n est d´ efinie par :
(a) n =
1,
si n = 0 ;
a(a + 1) · · · (a + n − 1), si n ≥ 1.
Pour prolonger la d´ efinition de (a) n ` a tout entier n ∈ Z, on utilise la fonction
gamma dont nous rappelons la d´ efinition. Pour a complexe telle que e a > 0
on d´ efinit Γ(a) =
+∞
0
e
−t t
a−1 dt ; pour a complexe diff´ erent de tout entier
nul ou n´ egatif, on d´ efinit Γ(a) par
Γ(a) =
Γ(a + n)
(a) n
,
en prenant n entier tel que n+e a > 0. On peut ainsi prolonger la d´ efinition
de (a) n pour tout entier n ∈ Z en posant :
(a) n =
Γ(a + n)
Γ(a)
.
Notons les propri´ et´ es suivantes, banales, mais fort utiles dans les calculs :
(a) i+j = (a) i (a + i) j ;
(a) n = (−1)
n (1 − n − a) n .
D’autre part, (−m) n = 0 si m, n sont des entiers positifs tels que n > m.