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CHAPITRE 3 : ESPACES PROBABILIS ´
ES
4. Autres propri´ et´ es. — La propri´ et´ e de σ-additivit´ e est en fait une
propri´ et´ e de continuit´ e. Celle-ci doit ˆ etre convenablement interpr´ et´ ee en
termes de suites d’´ ev` enements, d’une part, de suites de nombres r´ eels, d’autre
part.
Proposition 4.1. — Soit (A n ) une suite monotone d’´ ev` enements. Alors
P(lim n A n ) = lim n P(A n ).
D´ emonstration. — Il faut noter que les deux op´ erateurs lim s’appliquent dans deux sens diff´ erents. Supposons, d’abord, la suite (A n ) croissante.
Avec A 0 = ∅ on a :
P(lim n A n ) = P
∞
n=1
A n
= P
∞
n=1
(A n \ A n−1 )
=
∞
n=1
P(A n \ A n−1 ) = lim n
n
k=1
P(A k \ A k−1 ).
Or
n
k=1
P(A k \ A k−1 ) =
n
k=1
P(A k ) − P(A k−1 )
= P(A n ).
D’o` u
P(lim n A n ) = lim n P(A n ).
Si la suite (A n ) est d´ ecroissante, la suite (A 1 \ A n ) (n = 2, 3, . . . ) est
croissante. D’o` u
P(A 1 ) − P(lim n A n ) = P(A 1 \ lim n A n )
= P
lim n (A 1 \ A n )
= lim n P(A 1 \ A n )
= lim n
P(A 1 ) − P(A n )
= P(A 1 ) − lim n P(A n ).
D’o` u
P(lim n A n ) = lim n P(A n ).
Cette proposition admet une r´ eciproque que voici.
Proposition 4.2. — Soit P une fonction d’ensembles, d´ efinie sur la
tribu A, `
a valeurs dans l’intervalle ferm´ e [0, 1]. On suppose, de plus, qu’elle
satisfait aux propri´ et´ es 1), 2) et 3) ou 1), 2) et 3
) suivantes :
1) P(Ω) = 1 ;
2) l’additivit´ e finie : P(A + B) = P(A) + P(B), pour tout couple A, B
disjoints, appartenant ` a A ;
3) pour toute suite d´ ecroissante (A n ) d’´ el´ ements de A tendant vers ∅,
on a : lim n P(A n ) = 0 ;
3
) pour tout A ∈ A et toute suite croissante d’´ el´ ements tendant vers A,
on a : lim n P(A n ) = P(A).
Alors P est une mesure de probabilit´ e sur A.