3. FORMULE DE POINCAR ´
E ET IN ´
EGALIT ´
E DE BOOLE
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la derni` ere sommation ´ etant faite sur toutes les suites strictement croissantes
(i 1 , . . . , i k ) de k entiers extraits de l’intervalle [1, n].
D´ emonstration. — La formule est d´ ej` a vraie pour n = 2 : c’est la
propri´ et´ e 6) de la Proposition 2.1. Par r´ ecurrence sur n on a
P(A 1 ∪ · · · ∪ A n ) = P
(A 1 ∪ · · · ∪ A n−1 ) ∪ A n
= P(A 1 ∪ · · · ∪ A n−1 ) + P(A n )
− P
(A 1 ∩ A n ) ∪ · · · ∪ (A n−1 ∩ A n )
=
n−1
k=1
(−1)
k−1
P(A i 1 · · · A i k )
−
n−1
k=1
(−1)
k−1
P
A i 1 · · · A i k A n
+ P(A n ),
o` u les sommations
et
sont faites sur toutes les suites strictement
croissantes (i 1 , . . . , i k ) de k entiers extraits de l’intervalle [1, n−1]. On obtient
ainsi une sommation sur toutes les suites de k entiers de [1, n], puisque la
premi` ere (resp. la seconde) sommation se compose de toutes les suites ne
contenant pas n (resp. contenant n ` a l’exclusion de la suite (n) de longueur 1)
et que P(A n ) vient compl´ eter le terme qui manquait.
Remarque. — On utilise fr´ equemment la formule de Poincar´ e sous la forme
P(A 1
c
∩ · · · ∩ A n
c ) =
n
k=0
(−1)
k
P(A i 1 · · · A i k ),
avec toujours 1 ≤ i 1 < · · · < i k ≤ n et 0 ≤ k ≤ n en convenant que le terme
de la sommation correspondant `
a k = 0 est ´ egal ` a 1.
Proposition 3.2 (In´ egalit´ e de Boole). — Pour toute suite d’´ ev` enements
(A n ) (n = 1, 2, . . . ), on a :
P
∞
n=1
A n
≤
∞
n=1
P(A n ).
D´ emonstration. — On utilise la d´ ecomposition
∞
n=1
A n =
∞
n=1
A n \
n−1
i=0
A i
(A 0 = ∅).
Or la r´ eunion du second membre est disjointe et A n \
n−1
i=0 A i ⊂ A n , d’o` u
P
∞
n=1
A n
=
∞
n=1
P
A n \
n−1
i=0
A i
) ≤
∞
n=1
P(A n ).
Il faut noter que l’in´ egalit´ e ne donne quelquefois aucune information, en
particulier lorsque la s´ erie du second membre est de somme sup´ erieure ` a 1
ou diverge !