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CHAPITRE 3 : ESPACES PROBABILIS ´
ES
2. Propri´ et´ es. — Donnons une liste de propri´ et´ es ´ el´ ementaires sur les
mesures de probabilit´ e, simples ` a ´ etablir, mais qui sont d’un usage constant
dans l’´ evaluation effective de probabilit´ es d’´ ev` enements. On suppose donn´ e
un espace probabilis´ e (Ω, A, P) ; les lettres A, B, avec ou sans indices sont
des ´ ev` enements appartenant `
a A.
Proposition 2.1
1) P(∅) = 0.
2) Soient n ≥ 2 et (A i ) (i = 1, 2, . . . , n) une suite de n ´ ev` enements deux
` a deux incompatibles. Alors
P
n
i=1
A i
=
n
i=1
P(A i ).
3) Si A et B sont incompatibles, alors P(A + B) = P(A) + P(B).
4) On a : P(A) + P(A
c ) = 1.
5) On a P(A 1 )+· · ·+P(A n ) = 1 pour toute partition (A 1 , . . . , A n ) de Ω.
6) Si A et B sont deux ´ ev` enements quelconques, alors : P(A ∪ B) =
P(A) + P(B) − P(AB) (utilisant la notation AB = A ∩ B).
7) Si A entraˆ ıne B, c’est-` a-dire, si A ⊂ B, alors
P(A) ≤ P(B)
et
P(B \ A) = P(B) − P(A).
D´ emonstration. — Pour 1) prendre la suite (A n ) avec A 1 = Ω et A n = ∅
pour n ≥ 2 et utiliser la σ-additivit´ e de P. Pour 2) prendre A i = ∅ pour
i ≥ n + 1 et appliquer la σ-additivit´ e et la propri´ et´ e 1) juste d´ emontr´ ee. La
propri´ et´ e 3) est un cas particulier de 2). Pour 4), on note que A+A
c = Ω et on
applique 3) et l’axiome (P2). Pour 5) il suffit d’appliquer 3) et l’axiome (P2).
Dans la propri´ et´ e 6) on utilise les d´ ecompositions : A ∪ B = A + (B \ A)
et B = AB + (B \ A). On en tire : P(A ∪ B) = P(A) + P(B \ A) et
P(B) = P(AB) + P(B \ A) et l’identit´ e cherch´ ee. Enfin, pour 7) on note
que A ⊂ B entraˆ ıne B = A + (B \ A), d’o` u P(B) = P(A) + P(B \ A). Par
suite, P(A) ≤ P(B) et P(B \ A) = P(B) − P(A).
3. Formule de Poincar´ e et in´ egalit´ e de Boole. — La formule de
Poincar´ e s’applique `
a une suite (A i ) (i = 1, 2, . . . , n) d’´ ev` enements pour
lesquels on connaˆ ıt a priori les probabilit´ es des conjonctions d’´ ev` enements
P(A i 1 · · · A i k ). On peut ainsi ´ evaluer la probabilit´ e de l’´ ev` enement
n
i=1 A i
au moins l’un des A i se r´ ealise ou de l’´ ev` enement
n
i=1 A i
c aucun des A i
ne se r´ ealise .
Proposition 3.1 (Formule de Poincar´ e). — Soient n ≥ 2 et (A i )
(i = 1, 2, . . . , n) une suite d’´ ev` enements. Alors
P(A 1 ∪ · · · ∪ A n ) =
i
P(A i ) −
i
n−1 P(A 1 · · · A n ),
ou bien P(A 1 ∪ · · · ∪ A n ) =
n
k=1
(−1)
k−1
1≤i 1 <··· P(A i 1 · · · A i k ),
CHAPITRE 3 : ESPACES PROBABILIS ´
ES
2. Propri´ et´ es. — Donnons une liste de propri´ et´ es ´ el´ ementaires sur les
mesures de probabilit´ e, simples ` a ´ etablir, mais qui sont d’un usage constant
dans l’´ evaluation effective de probabilit´ es d’´ ev` enements. On suppose donn´ e
un espace probabilis´ e (Ω, A, P) ; les lettres A, B, avec ou sans indices sont
des ´ ev` enements appartenant `
a A.
Proposition 2.1
1) P(∅) = 0.
2) Soient n ≥ 2 et (A i ) (i = 1, 2, . . . , n) une suite de n ´ ev` enements deux
` a deux incompatibles. Alors
P
n
i=1
A i
=
n
i=1
P(A i ).
3) Si A et B sont incompatibles, alors P(A + B) = P(A) + P(B).
4) On a : P(A) + P(A
c ) = 1.
5) On a P(A 1 )+· · ·+P(A n ) = 1 pour toute partition (A 1 , . . . , A n ) de Ω.
6) Si A et B sont deux ´ ev` enements quelconques, alors : P(A ∪ B) =
P(A) + P(B) − P(AB) (utilisant la notation AB = A ∩ B).
7) Si A entraˆ ıne B, c’est-` a-dire, si A ⊂ B, alors
P(A) ≤ P(B)
et
P(B \ A) = P(B) − P(A).
D´ emonstration. — Pour 1) prendre la suite (A n ) avec A 1 = Ω et A n = ∅
pour n ≥ 2 et utiliser la σ-additivit´ e de P. Pour 2) prendre A i = ∅ pour
i ≥ n + 1 et appliquer la σ-additivit´ e et la propri´ et´ e 1) juste d´ emontr´ ee. La
propri´ et´ e 3) est un cas particulier de 2). Pour 4), on note que A+A
c = Ω et on
applique 3) et l’axiome (P2). Pour 5) il suffit d’appliquer 3) et l’axiome (P2).
Dans la propri´ et´ e 6) on utilise les d´ ecompositions : A ∪ B = A + (B \ A)
et B = AB + (B \ A). On en tire : P(A ∪ B) = P(A) + P(B \ A) et
P(B) = P(AB) + P(B \ A) et l’identit´ e cherch´ ee. Enfin, pour 7) on note
que A ⊂ B entraˆ ıne B = A + (B \ A), d’o` u P(B) = P(A) + P(B \ A). Par
suite, P(A) ≤ P(B) et P(B \ A) = P(B) − P(A).
3. Formule de Poincar´ e et in´ egalit´ e de Boole. — La formule de
Poincar´ e s’applique `
a une suite (A i ) (i = 1, 2, . . . , n) d’´ ev` enements pour
lesquels on connaˆ ıt a priori les probabilit´ es des conjonctions d’´ ev` enements
P(A i 1 · · · A i k ). On peut ainsi ´ evaluer la probabilit´ e de l’´ ev` enement
n
i=1 A i
au moins l’un des A i se r´ ealise ou de l’´ ev` enement
n
i=1 A i
c aucun des A i
ne se r´ ealise .
Proposition 3.1 (Formule de Poincar´ e). — Soient n ≥ 2 et (A i )
(i = 1, 2, . . . , n) une suite d’´ ev` enements. Alors
P(A 1 ∪ · · · ∪ A n ) =
i
P(A i ) −
i
n−1 P(A 1 · · · A n ),
ou bien P(A 1 ∪ · · · ∪ A n ) =
n
k=1
(−1)
k−1
1≤i 1 <··· P(A i 1 · · · A i k ),