CHAPITRE 3
ESPACES PROBABILIS ´
ES
On part maintenant d’un espace probabilisable (Ω, A) et on cherche
` a munir les ´ ev` enements, c’est-` a-dire les ´ el´ ements de la tribu A, d’une
pond´ eration utilisant pleinement les propri´ et´ es des tribus. On obtient ainsi un
triplet (Ω, A, P), appel´ e espace probabilis´ e. L’id´ ee de mod´ eliser une exp´ erience
al´ eatoire au moyen d’un tel triplet (non n´ ecessairement unique !) a marqu´ e
un tournant d´ ecisif dans le d´ eveloppement du calcul des probabilit´ es. Elle est
due essentiellement ` a Kolmogorov.
1
1. Mesures de probabilit´ e
D´ efinition. — Soit (Ω, A) un espace probabilisable. On appelle mesure
de probabilit´ e P sur A toute application qui associe `
a tout ´ ev` enement A un
nombre P(A), appel´ e probabilit´ e de A, satisfaisant aux axiomes :
(P1) 0 ≤ P(A) ≤ 1 pour tout A ∈ A ;
(P2) P(Ω) = 1 ;
(P3) si (A n ) est une suite d’´ ev` enements de A, deux `
a deux incompatibles
(i.e., A i ∩ A j = ∅ si i = j), alors
P
∞
n=1
A n
=
∞
n=1
P(A n ).
(P3) s’appelle l’axiome de σ-additivit´ e de P.
D´ efinition. — On appelle espace probabilis´ e tout triplet (Ω, A, P), o` u
(Ω, A) est un espace probabilisable et o` u P est une mesure de probabilit´ e
sur A (ou, de fa¸ con plus pr´ ecise, sur (Ω, A)).
Remarque. — Du point de vue de l’analyse, une mesure de probabilit´ e
n’est autre qu’une mesure positive born´ ee, dont la valeur en Ω vaut 1 (voir
chap. 10).
Remarque. — Le nombre P(A), la probabilit´ e de l’´ ev` enement A, intervient
dans des relations du type P(A) = p. On lit souvent cette expression comme :
la probabilit´ e que A se produise est ´ egale `
a p.
1 Kolmogorov (A.N.). — Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung. — Berlin,
Springer, .