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CHAPITRE 4 : PROBABILIT ´
ES DISCR `
ETES. D ´
ENOMBREMENTS
Par exemple, si λ est un r´ eel strictement positif, on peut munir (Ω, A) =
(R, B
1 ) de la mesure de probabilit´ e discr` ete :
π λ =
∞
n=0
e
−λ λ
n
n!
ε n ,
puisque e
−λ λ
n /n! ≥ 0 et
∞
n=0 e
−λ λ
n /n! = 1. Cette mesure de probabilit´ e
est appel´ ee loi de Poisson de param` etre λ. Ce sont les entiers positifs qui
portent toute la masse. On dit que N est le support de la mesure.
2. ´
Equir´ epartition sur les espaces finis. — Soient N un entier strictement positif et Ω = {ω 1 , ω 2 , . . . , ω N } un ensemble fini. L’´ equir´ epartition
sur Ω est d´ efinie comme la mesure de probabilit´ e :
P =
N
n=1
1
N
ε ω n =
1
N
N
n=1
ε ω n .
En particulier, P({ω n }) = 1/N pour tout n = 1, 2, . . . , N. En d´ esignant par
card A le cardinal de l’ensemble A, on a, de plus, la formule :
P(A) =
1
N
N
n=1
ε ω n (A) =
ω n ∈A 1
ω n ∈Ω 1
,
d’o` u
P(A) =
card A
card Ω
.
On retrouve la d´ efinition de Laplace de la probabilit´ e, ` a savoir que la
probabilit´ e de A est ´ egale au nombre de cas favorables (` a A) divis´ e par le
nombre de cas possibles. Il faut bien noter que cette d´ efinition ne s’applique
qu’aux espaces finis, sur lesquels on a impos´ e l’´ equir´ epartition.
Si on se trouve dans ce cas, l’´ evaluation de la probabilit´ e d’un ´ ev` enement
se ram` ene ` a des ´ evaluations de cardinaux d’ensembles finis. Il importe donc
de passer en revue l’alg` ebre combinatoire de ces ensembles.
3. Ensembles finis. — Pour d´ efinir la notion d’ensemble fini, on se
r´ ef` ere ` a l’ensemble N
∗ = N \ {0} = {1, 2, . . . } des entiers naturels. Les
sous-ensembles de N
∗ qui interviennent constamment par la suite sont les
intervalles {1, 2, . . . , n} et {m +1, m+2, . . . , n}, que l’on note respectivement
[ n ] et [ m + 1, n ]. Par convention, [ n ] = ∅ si n = 0. Rappelons les propri´ et´ es
suivantes de l’ensemble des entiers naturels.
Propri´ et´ es 3.1. — Soient n et p deux entiers strictement positifs.
(i) Il existe une bijection de l’intervalle [ n ] sur l’intervalle [ p ], si et
seulement si n = p.
(ii) Pour tout sous-ensemble non vide A de [ n ], il existe une bijection de
A sur un intervalle [ p ] tel que p ≤ n.
(iii) Il existe une bijection de [ p ] sur l’intervalle [ n + 1, n + p ].
On dit qu’un ensemble non vide A est fini, s’il existe une bijection d’un
intervalle [ n ] de N
∗ sur A. Une telle bijection est appel´ ee num´ erotation de A.
CHAPITRE 4 : PROBABILIT ´
ES DISCR `
ETES. D ´
ENOMBREMENTS
Par exemple, si λ est un r´ eel strictement positif, on peut munir (Ω, A) =
(R, B
1 ) de la mesure de probabilit´ e discr` ete :
π λ =
∞
n=0
e
−λ λ
n
n!
ε n ,
puisque e
−λ λ
n /n! ≥ 0 et
∞
n=0 e
−λ λ
n /n! = 1. Cette mesure de probabilit´ e
est appel´ ee loi de Poisson de param` etre λ. Ce sont les entiers positifs qui
portent toute la masse. On dit que N est le support de la mesure.
2. ´
Equir´ epartition sur les espaces finis. — Soient N un entier strictement positif et Ω = {ω 1 , ω 2 , . . . , ω N } un ensemble fini. L’´ equir´ epartition
sur Ω est d´ efinie comme la mesure de probabilit´ e :
P =
N
n=1
1
N
ε ω n =
1
N
N
n=1
ε ω n .
En particulier, P({ω n }) = 1/N pour tout n = 1, 2, . . . , N. En d´ esignant par
card A le cardinal de l’ensemble A, on a, de plus, la formule :
P(A) =
1
N
N
n=1
ε ω n (A) =
ω n ∈A 1
ω n ∈Ω 1
,
d’o` u
P(A) =
card A
card Ω
.
On retrouve la d´ efinition de Laplace de la probabilit´ e, ` a savoir que la
probabilit´ e de A est ´ egale au nombre de cas favorables (` a A) divis´ e par le
nombre de cas possibles. Il faut bien noter que cette d´ efinition ne s’applique
qu’aux espaces finis, sur lesquels on a impos´ e l’´ equir´ epartition.
Si on se trouve dans ce cas, l’´ evaluation de la probabilit´ e d’un ´ ev` enement
se ram` ene ` a des ´ evaluations de cardinaux d’ensembles finis. Il importe donc
de passer en revue l’alg` ebre combinatoire de ces ensembles.
3. Ensembles finis. — Pour d´ efinir la notion d’ensemble fini, on se
r´ ef` ere ` a l’ensemble N
∗ = N \ {0} = {1, 2, . . . } des entiers naturels. Les
sous-ensembles de N
∗ qui interviennent constamment par la suite sont les
intervalles {1, 2, . . . , n} et {m +1, m+2, . . . , n}, que l’on note respectivement
[ n ] et [ m + 1, n ]. Par convention, [ n ] = ∅ si n = 0. Rappelons les propri´ et´ es
suivantes de l’ensemble des entiers naturels.
Propri´ et´ es 3.1. — Soient n et p deux entiers strictement positifs.
(i) Il existe une bijection de l’intervalle [ n ] sur l’intervalle [ p ], si et
seulement si n = p.
(ii) Pour tout sous-ensemble non vide A de [ n ], il existe une bijection de
A sur un intervalle [ p ] tel que p ≤ n.
(iii) Il existe une bijection de [ p ] sur l’intervalle [ n + 1, n + p ].
On dit qu’un ensemble non vide A est fini, s’il existe une bijection d’un
intervalle [ n ] de N
∗ sur A. Une telle bijection est appel´ ee num´ erotation de A.