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SOLUTIONS DES EXERCICES
√
n, la suite des densit´ es f
∗
n (x,
√
n) converge ponctuellement, lorsque
n tend vers l’infini, vers la densit´ e de la loi normale N (0, 1). Cette
conjecture est effectivement vraie et un calcul analogue au pr´ ec´ edent
permet de la d´ emontrer.
7.
Il suffit de d´ emontrer 3). Pour tout n ≥ 1 posons A n = {X n = 0}.
Alors {X n → 0} = lim inf
n→∞
A n =
lim sup
n→∞
A
c
n
c ; d’o` u P{X n → 0} =
1 ⇔ P
lim sup
n→∞
A
c
n
= 0. Or, les A n ´ etant ind´ ependants, on a, en vertu
du Lemme de Borel-Cantelli : P
lim sup
n→∞
A
c
n
= 0 ⇔
n≥1
P(A
c
n ) < ∞ ⇔
n≥1
u n < +∞.
Chapitre 18
1.
La fonction g´ en´ eratrice de X λ est g 0 (u) = exp(λ(e
u
− 1)) ; celle de
(X λ −λ)/
√
λ est donc g(u) = e
−u
√
λ exp(λ(e
u/
√
λ
−1)). D’o` u Log g(u) =
−u
√
λ − λ + λe
u/
√
λ = −u
√
λ − λ + λ
1 +
u
√
λ
+
u
2
2λ
+ o
1
λ
=
u
2
2
+ o(1) →
u
2
2
; ainsi g(u) → e
u
2 /2 .
2.
La fonction g´ en´ eratrice de X p est g 0 (u) = (λ/(λ − u))
p (u < λ) ; donc
celle de
X p − (p/λ)
√ p/λ
est g(u) = e
−u
√ p g 0
λ
√ p
u
= e
−u
√ p
1
1 −
u
√ p
p
.
D’o` u Log g(u) = −u
√ p − p Log
1 −
u
√ p
= −u
√ p − p
−
u
√ p
−
u
2
2p
+
o
1
p
=
u
2
2
+ o
1
p
→
u
2
2
; ainsi g(u) → e
u
2 /2 .
3. a) E[S n ] =
n
k=1
1
k
∼ log n, C
2
n = Var S n =
n
k=1
1
k
1 −
1
k
∼ Log n.
b) Posons X
n = X n − 1/n, S
n =
n
k=1 X
n . On a Var S
n = Var S n =
C
2
n . La suite (X
n ) (n ≥ 1) est une suite de variables al´ eatoires
ind´ ependantes, centr´ ees, de L
2 . Elle v´ erifie, de plus, la condition de
Liapounov pour δ = 1 ; en effet,
E[ |X
k |
3 ] =
1
k
1 −
1
k
3
+
1 −
1
k
1
k
3
=
1
k
1 −
1
k
1 −
1
k
2
+
1
k
2
≤
1
k
1 −
1
k
≤
1
k
,
d’o` u
1
(C n ) 3
n
k=1
|X
n |
3 ≤
1
(C n ) 3
n
k=1
1
k
∼
1
√
Log n
→ 0
(n → ∞).
Il en r´ esulte que S
n /C n
L
−→ N (0, 1), d’o` u aussi Y n
L
−→ N (0, 1).