CHAPITRE 17
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ne se r´ ealise que pour un nombre fini d’indices n. Les X n ´ etant
ind´ ependantes, les ´ ev` enements A n sont ind´ ependants ; il r´ esulte alors
du lemme de Borel-Cantelli que
n≥1
P(A n ) < ∞.
b) Les X n ´ etant identiquement distribu´ ees, il suffit de montrer que
E[ |X 1 | ] < ∞. Or E[ |X 1 | ] =
+∞
0
P{|X 1 | ≥ x} dx. En posant H k =
{x ∈ R
+ : k≤ x < k + 1}, on a E[ |X 1 | ] =
k≥0
H k
P{|X 1 | ≥ x} dx ≤
k≥0
P{|X 1 | ≥ k}
H k
dx =
k≥0
P{|X 1 | ≥ k} < +∞.
c) Les X n ´ etant dans L
1 , il r´ esulte de la loi forte des grands nombres de
Kolmogorov que, presque sˆ urement, Y = E[X 1 ] = constante.
4.
Pour tout ε > 0 on a P{|S n /n| > ε} = P{|S n /
√
n| > ε
√
n}. Or, pour
tout N > 0, il existe N 0 tel que pour tout n ≥ N 0 on ait ε
√
n > N. Par
suite P{|S n /n| > ε} ≤ P{|S n /
√
n| > N} →
|x|>N
dµ(x), o` u µ est la
loi de Y . Puisque N est arbitraire, il en r´ esulte que P{|S n /n| > ε} → 0.
6. a) La densit´ e g n (x, R) est ´ egale ` a V n−1 (
√
R 2 − x 2 )I [−R,+R] (x), d’o` u
f n (x, R) =
V n−1 (
√
R 2 − x 2 )
V n (R)
=
1
√
π
Γ(1 + n + 2)
Γ(1 + (n − 1)/2)
1
R
1 −
x
2
R 2
(n−1)/2
I [−R,+R] (x),
soit, en prenant R =
√
n, la densit´ e
f n (x,
√
n) =
1
√
n
Γ(1 + n/2)
Γ(1 + (n − 1)/2)
1 −
x
2
R 2
(n−1)/2
I [−
√
n,+
√
n] (x).
b) En utilisant la formule de Stirling Γ(1 + p) ∼ (p/e)
p
√
2πp (p → ∞), on
obtient apr` es un calcul simple
1
√
n
Γ(1 + n/2)
Γ(1 + (n − 1)/2)
→
1
√
2
(n → ∞).
c) Prenons x r´ eel et l’entier n assez grand pour que |x| <
√
n. On voit que
1 −
x
2
n
(n−1)/2 → e
−x
2 /2 lorsque n tend vers l’infini.
On sait, d’autre part, que pour de grandes valeurs de n, le volume de
la boule B n (0, R) a tendance `
a se concentrer sur la p´ eriph´ erie ; il suffit
pour le voir de remarquer que pout tout h > 0 on a
V n (R)
V n (R + h)
=
R
R + h
n → 0, lorsque n tend vers l’infini. On peut donc s’attendre
au r´ esultat suivant :
Projetons la surface A n (R) de la boule B n (0, R) sur l’axe des x : on
obtient une distribution de masses de densit´ e g
∗
n (x, R), que l’on norme
pour avoir une densit´ e de probabilit´ e f
∗
n (x, R) =
g
∗
n (x, R)
A n (R)
. Pour R =