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SOLUTIONS DES EXERCICES
b) Comme B n = (A n )
1/λ , on a B n
L
−→ Y
1/λ . La loi limite est la loi de
Weibull (cf. exercice 3 du chap. 14), dont la fonction de survie pour
x > 0 est donn´ ee par P{Y
1/λ > x} = P{Y > x
λ
} = e
−x
λ .
c) Comme C n = (A n )
−1/λ , on a C n
L
−→ Y
−1/λ . La loi limite est la loi
de Fr´ echet, dont la fonction de r´ epartition pour x > 0 est donn´ ee par
P{Y
−1/λ < x} = P{Y > x
−λ
} = e
−(x
−λ ) .
d) On a D n = − Log A n ; d’o` u D n
L
−→ − Log Y . La loi limite est la loi
de Gumbel, dont la fonction de r´ epartition pour tout x est donn´ ee par
P{− Log Y < x} = P{Y > e
−x
} = e
−(e
−x ) .
15. a) Pour x > 0, on a : P{Z n ≤ x} =
P{X ≤ nx}
n =
1−P{X > nx}
n =
1−o(1/(nx))
n . D’o` u Log P{Z n ≤ x} = n Log
1−o(1/(nx))
, qui tend
vers 0 lorsque n tend vers l’infini.
b) Pour x > 0, on a : P{Z n ≤ x} =
1 − P{X > n
1/λ x}
n =
1 −
α
nx λ + o(1/n)
n
, qui tend vers e
−αx
−λ , lorsque n tend vers l’infini.
Exemples pour a) : L(X) = E(θ) (θ > 0), X = |Y |, avec L(Y ) =
N (0, 1).
Exemples pour b) : X = e
Y , avec L(Y ) = E(θ) (θ > 0) et α = 1, λ = θ ;
ou bien X = |Y | avec L(Y ) = C(0, 1) et α = 2/π, λ = 1 ; ou bien encore
X = Y − 1, avec L(Y ) = Pareto(1, 1) et α = 1, λ = 1.
Chapitre 17
1. a) On a E[Y n ] = m, Var Y n = σ
2 /n. Pour calculer E[Z n ], on supposera
m = 0 (en effet, Z n ne d´ epend pas de m). Un calcul ´ el´ ementaire montre
que
n
k=1
(X k −Y n )
2 =
n
k=1
X
2
k −nY
2
n , d’o` u E
n
k=1
(X k −Y n )
2
= nσ
2
−σ
2 =
(n − 1)σ
2 et E[Z n ] = σ
2 .
b) Z n = (1/(n − 1))
n
k=1
X
2
k − (n/(n − 1))Y
2
n . Or en utilisant la loi forte
des grands nombres de Kolmogorov (Th´ eor` eme 2.3), on obtient
(1/n)
n
k=1
X
2
k
p.s.
−→ E[X
2
1 ], puisque E[X
2
1 ] < ∞ et Y n
p.s.
−→ E[X 1 ], puisque
E[ |X 1 | ] < ∞ ; d’o` u Z n
p.s.
−→ E[X
2
1 ] − (E[X 1 ])
2 = σ
2 .
2.
D´ esignons par ϕ la fonction caract´ eristique commune aux X n . Puisque X n est dans L
1 et qu’elle est centr´ ee, on a ϕ
(0) = 0. Or
ϕ Y n (t) =
ϕ(t/n)
n . En posant ψ = Log ϕ, on obtient ψ Y n (t) =
nψ(t/n) = t(ψ(t/n) − ψ(0))/(t/n). En faisant tendre n vers l’infini,
il vient ψ Y n (t) → t ψ
(0) = t ϕ
(0)/ϕ(0) = 0 ; d’o` u ϕ Y n (t) → 1 et
Y n
L
−→ 0. La valeur limite ´ etant une constante, la derni` ere propri´ et´ e est
´ equivalente `
a Y n
p
−→ 0.
3. a) Comme X n /n = Y n − ((n − 1)/n)Y n−1 , on a X n /n
p.s.
−→ 0 (n → ∞). Il en
r´ esulte qu’avec une probabilit´ e ´ egale ` a 1, l’´ ev` enement A n = {|X n | ≥ n}