CHAPITRE 16
319
4.
Supposons que X n
p
−→ X et qu’il existe C > 0 tel que pour tout n ≥ 1
on ait P{|X n | ≤ C} = 1. Il en r´ esulte que P{|X| ≤ C} = 1, puisque,
pour tout ε > 0, on a P{|X| ≤ C + ε} = lim
n→∞
P{|X n | ≤ C + ε} = 1.
Posons E n (ε) = {|X n − X| > ε}. On a |X n − X|
r
≤ ε
r I E c
n (ε) +
(2C)
r I E n (ε) , d’o` u, en prenant l’esp´ erance math´ ematique et en faisant
tendre n vers l’infini lim sup
n→∞
E[ |X n − X|
r ] ≤ ε
r .
6. a) Avec B =
t + Log g(ε))
ε
on a :
g(ε) ≥
{X≥B}
e
εX dP ≥ e
εB
{X≥B}
dP = e
t g(ε)P
X ≥ B
.
7. a) Utiliser le deuxi` eme crit` ere de convergence presque sˆ ure.
b) Si
n≥1 E[X
2
n ] < ∞, alors E[X
2
n ] → 0 lorsque n tend vers l’infini, d’o` u
le r´ esultat.
8.
E
X n
µ n
− 1
2
= Var
X n
µ n
=
σ
2
n
(µ n ) 2 =
O(1)
|µ n |
→ 0. Ainsi
X n
µ n
− 1 tend
vers 0 en moyenne quadratique, donc aussi en probabilit´ e.
9.
Puisque X n
p
−→ 0, on peut extraire de la suite (X n ) une suite partielle
(X n k ) telle que X n k ↓ 0 p.s. Or ceci entraˆ ıne X n ↓ 0 p.s., puisque la
suite (X n ) est d´ ecroissante.
10.
Pour tout ε > 0, on a P{X n > ε} ≤ 1/n → 0, alors que, pour
tout n ≥ 1, on a E[X
2
n ] = +∞, puisque l’int´ egrale
1/n
0
(1/x) dx est
divergente.
11. a) X n
p
−→ 0, car pour tout ε > 0, on a P{X n > ε} ≤ P{X n > 0} = 1/n →
0.
b) Montrons que la suite (Y n ) ne converge pas vers 0 en probabilit´ e.
Remarquons, tout d’abord, que {Y 2n ≥ 1/2} ⊃
n {X k = k},
d’o` u P{Y 2n ≥ 1/2} ≥ P
n {X k = k}
= 1 − P
n {X k = 0}
=
1−
n 1−(1/k)
≥ 1−
n exp(−1/k) = 1−exp
−
n (1/k)
≥
1 − e
−1/2 > 0. Ainsi P{Y 2n ≥ 1/2} ne tend pas vers 0 lorsque n tend
vers l’infini ; la suite (Y n ) (n ≥ 1) ne tend donc pas vers 0 en probabilit´ e.
12.
Le support de Z n est [0, n]. Pour n ≥ x on a P{Z n > x} =
P{min(U 1 , . . . , U n ) > x/n} = P{U 1 > x/n, . . . , U n > x/n} = (P{U >
x/n})
n = (1 − (x/n))
n , qui tend vers e
−x lorsque n tend vers l’infini.
13.
Le support de e
−λX est ]0, 1[. Pour 0 < x < 1 on a P{e
−λX < x} =
P{X > −(Log x/λ)} = e
−λ(− Log x/λ) = x ; soit L(e
−λX ) = L(U ).
14. a) D’apr` es les exercices 12 et 13, on a L(A n ) = L(Z n ), o` u Z n d´ esigne la
v.a. d´ efinie `
a l’exercice 12 ; d’o` u, d’apr` es l’exercice 12, A n
L
−→ Y , o` u Y
est une variable al´ eatoire exponentielle de param` etre 1.