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SOLUTIONS DES EXERCICES
Chapitre 16
1. a) Consid´ erons l’in´ egalit´ e suivante, valable pour tout n ≥ 1 et tout ε > 0 :
P
|X n + Y n − X − Y | > 2ε
≤ P
|X n − X| > ε
+ P
|Y n − Y | > ε
.
Le r´ esultat en d´ ecoule en laissant ε fixe et en faisant tendre n vers
l’infini.
b) Consid´ erons l’in´ egalit´ e suivante, valable pour tout n ≥ 1 et tout ε > 0 :
P
|X n Y n − XY | > 3ε
≤ P
|X n − X| |Y | > ε
+ P
|Y n − Y | |X| > ε
+ P
|X n − X| |Y n − Y | > ε
.
Majorons le premier terme du second membre ; on a pour tout ε > 0 et
tout A > 0 :
P
|X n − X| |Y | > ε
≤ P
|X n − X| > ε/A
+ P
|Y | > A
.
On peut choisir A assez grand pour que P
|Y | > A
< η ; le
nombre A ´ etant ainsi choisi, on peut prendre n assez grand pour que
P
|X n − X| > ε/A
< η, de sorte que P
|X n − X| |Y | > ε
< 2η. Le
deuxi` eme terme du second membre se traite de la mˆ eme fa¸ con. Enfin
le troisi` eme terme du second membre tend vers 0 lorsque n tend vers
l’infini, puisque
P
|X n − X| |Y n − Y | > ε
≤ P
|X n − X| >
√
ε
+P
|Y n − Y | >
√
ε
.
2. a) On a, en vertu du Lemme 5.3, pour tout η > 0, l’in´ egalit´ e
|F X n +Y n (x) − F X n (x)| ≤ F X n (x + η) − F X n (x − η) + P
|Y n | > η
.
On conclut en prenant pour x, x − η, x + η (η > 0) des points de
continuit´ e de la fonction de r´ epartition F de X et en laissant tendre n
vers l’infini.
b) On a, pour tout A > 0 et tout ε > 0
P
|X n Y n | > Aε
≤ P
|X n | > A
+ P
|Y n | > ε
.
Puisque X n
L
−→ X (o` u X est une variable al´ eatoire), le premier terme
du second membre peut ˆ etre rendu inf´ erieur `
a η pour A, n assez grands.
Puisque Y n
p
−→ 0 le second terme tend vers 0 lorsque n tend vers l’infini.
Ces deux points permettent de conclure.
3. a) La s´ erie de terme g´ en´ eral E
|X n |
1/2
= n
−3/2 est convergente ; donc
X n
p.s.
−→ 0, d’apr` es le deuxi` eme crit` ere de convergence presque sˆ ure.
b) E
X
2
n
= 1 ; donc X n ne tend pas vers 0 en moyenne quadratique.