CHAPITRE 15
317
de R
2 dans D, avec D = {(u, v) : u ≥ 0, v ≥ 0, ou u ≤ 0, v ≤ 0}. Cette
application n’est cependant pas une bijection de R
2 sur D (les couples
(x, y) et (−x, −y) ont mˆ eme image). Comme x
2 = uv et y
2 = u/v,
prenons x = +
√
uv, y = +
u/v, d’o` u
D(u, v)
D(x, y)
=
y
x
1/y −x/y
2
=
−2(x/y) = −2v et
D(x, y)
D(u, v)
= −1/(2v). Comme tout ´ el´ ement (u, v)
de D est l’image de deux ´ el´ ements de R
2 , on a
g(u, v) = 2f
x(u, v), y(u, v)
1
2|v|
= 2
1
2π
exp
−
1
2
uv +
u
v
1
2|v|
=
1
2π
exp
−
u
2
v +
1
v
1
|v|
((u, v) ∈ D).
Densit´ e marginale de U :
g(u, ·) =
1
2π
∞
0
exp
−
u
2
v +
1
v
dv
v
.
Pour u ≥ 0 :
g(u, ·) =
1
2π
0
−∞
exp
−
u
2
v +
1
v
dv
−v
Pour u ≤ 0 :
=
1
2π
∞
0
exp
u
2
t +
1
t
dt
t
.
D’o` u
g(u, ·) =
1
2π
∞
0
exp
−
|u|
2
t +
1
t
dt
t
(u ∈ R).
Densit´ e marginale de V :
g(· , v) =
1
2π
1
v
∞
0
exp
−
u
2
v +
1
v
du
Pour v ≥ 0 :
soit en posant
u
2 (v +
1
v ) = t,
g(· , v) =
1
π
1
v
∞
0
e
−t
dt
v + (1/v)
=
1
π
1
1 + v 2
g(· , v) =
1
2π
1
−v
0
−∞
exp
−
u
2
v +
1
v
du,
Pour v ≤ 0 :
soit avec
u
2 (v +
1
v ) = t,
g(· , v) =
1
π
1
−v
0
+∞
e
−t dt
v + (1/v)
=
1
π
1
1 + v 2
∞
0
e
−t dt.
D’o` u
g(·, v) =
1
π
1
1 + v 2
(v ∈ R).
12.
a) L(U ) = C(0, 1) ; b) L(Z) = C(0, 1).