316
SOLUTIONS DES EXERCICES
b) On sait que T = Y /X suit la loi de Cauchy C(0, 1). On peut donc ´ ecrire
Z =
a + bT
c + dT
=
aX + bY
cX + dY
. C’est le rapport de deux variables al´ eatoires
ind´ ependantes dont chacune suit la loi N (0, 1), c’est donc une variable
al´ eatoire qui suit la loi de Cauchy C(0, 1).
7. a) La densit´ e conjointe de (X, Y ) est f (x, y) = (1/(2π))e
−(x
2 +y
2 )/2 .
Faisons le changement de variable
u = 2x
v = x − y
qui ´ etablit une bijection
de R
2 sur R
2 :
x = u/2
y = (u/2) − v
,
D(x, y)
D(u, v)
=
1/2 0
1/2 −1
= −
1
2
. La
densit´ e conjointe g(u, v) de (U, V ) est donc ´ egale ` a :
g(u, v) = f
u
2
,
u
2
− v
1
2
=
1
2
1
2π
exp
−
1
2
u
2
2
+
u
2
− v
2
.
Les densit´ es marginales s’en d´ eduisent :
g(u, ·) =
R
g(u, v) dv =
1
2
1
√
2π
exp
−
1
2
u
2
4
(loi N (0, σ = 2));
g(·, v) =
R
g(u, v) du =
1
√
2
1
√
2π
exp
−
1
2
v
2
2
(loi N (0, σ =
√
2)).
b) La densit´ e conditionnelle cherch´ ee est :
g U | V (u, 0) =
g(u, 0)
g(·, 0)
=
1
√
2
1
√
2π
exp
−
1
2
u
2
2
(loi N (0, σ =
√
2)).
c) Posons W = X + Y , V = X − Y . En faisant le changement de variable
w = x + y
v = x − y
, un calcul analogue au pr´ ec´ edent fournit
g W | V (w, 0) =
1
√
2
1
√
2π
exp
−
1
2
w
2
2
(loi N (0, σ =
√
2)).
d) On constate effectivement que L(2X | X − Y = 0) = L(X + Y | X − Y =
0) = L(X + Y ). La raison en est que, dans les hypoth` eses de l’´ enonc´ e,
les variables al´ eatoires X + Y et X − Y sont ind´ ependantes et que, en
outre, conditionnellement `
a X − Y = 0, on a X + Y = 2X.
8.
Par r´ ecurrence.
9.
Il suffit de montrer b). Soit A un bor´ elien de R. On a : P{Y ∈ A} =
1
2 P{X ∈ A} +
1
2 P{(1/X) ∈ A}. Or d’apr` es a), P{(1/X) ∈ A} = P{X ∈
A}, d’o` u P{Y ∈ A} = P{X ∈ A}.
10.
La densit´ e conjointe de (X, Y ) est f (x, y) = (1/(2π))e
−(x
2 +y
2 )/2 .
Faisons le changement de variable
u = xy
v = x/y , qui ´ etablit une application