CHAPITRE 15
315
4.
Faisons le changement de variable u = x + y, v = x/(x + y), qui
´ etablit une bijection de ]0, +∞[×]0, +∞[ sur ]0, +∞[×]0, 1[. On a :
x = uv, y = u(1 − v), D(x, y)/D(u, v) =
v
u
1 − v −u
= −u. La densit´ e
conjointe de (X, Y ) est donn´ ee par
f (x, y) =
λ
r
Γ(r)
e
−λx x
r−1 .
λ
s
Γ(s)
e
−λy y
s−1 =
λ
r+s
Γ(r)Γ(s)
e
−λ(x+y) x
r−1 y
s−1 ;
la densit´ e conjointe de (U, V ) est donc g(u, v) = f (uv, u(1 − v))u, soit
g(u, v) =
λ
r+s
Γ(r)Γ(s)
(uv)
r−1 (u(1 − v))
s−1 e
−λ(uv+u(1−v)) u
=
λ
r+s
Γ(r + s)
u
r+s−1 e
−λu .
Γ(r + s)
Γ(r)Γ(s)
v
r−1 (1 − v)
s−1 .
Par cons´ equent, g(u, v) est le produit de la densit´ e de la loi Γ(r + s, λ)
par la densit´ e de la loi Beta(r, s).
5. a) f (x) =
R
I [0,1] (v)g(x/v)(1/|v|) dv =
1
0
(1/v)g(x/v) dv.
b) La variable al´ eatoire X prend ses valeurs dans [0, +∞[. Supposons
x > 0 et faisons le changement de variable x/v = u. Il vient f (x) =
∞
x
(g(u)/u) du. De l` a f est d´ erivable et f
(x) = −g(x)/x (x > 0).
Comme, par hypoth` ese, g(x) > 0 pour tout x > 0, on voit que f
(x) < 0
pour tout x > 0. Il en r´ esulte que f est strictement d´ ecroissante sur
]0, +∞[ et admet donc un mode et un seul en x = 0.
c) La variable al´ eatoire X prend cette fois-ci ses valeurs dans R. Reprenons
la repr´ esentation de f donn´ ee en a) et effectuons toujours le changement
de variable x/v = u. Nous distinguons deux cas :
(1) pour x > 0, on obtient f (x) =
∞
x
(g(u)/u) du (x > 0) ;
(2) pour x < 0, on obtient f (x) =
−∞
x
(g(u)/u) du (x < 0).
Dans les deux cas, on voit que f est d´ erivable et que f
(x) = −g(x)/x
(x = 0). Par hypoth` ese, g(x) > 0 pour tout x ∈ R. Pour x < 0 on
a donc f
(x) < 0 et pour x < 0, f
(x) > 0. Il en r´ esulte que f est
strictement d´ ecroissante sur ]0, ∞[, strictement croissante sur ] − ∞, 0[.
Elle admet donc un mode et un seul en x = 0.
d) La relation xf
(x) + g(x) = 0 donne f
(x) = −(x/
√
2π)e
−x
2 /2 , d’o` u
f (x) = (1/
√
2π)e
−x
2 /2 .
6. a) Faisons le changement de variable
u
v
= A
x
y
,
x
y
= A
−1
u
v
,
(D(x, y)/D(u, v)) = det A
−1 = ±1. D’o` u, avec les mˆ emes notations
qu’en 3)
g(u, v) = f (x(u, v), y(u, v))
det A
−1
=
1
2π
exp(−
1
2
(x
2 (u, v) + y
2 (u, v))).
Or, puisque A est orthogonale, on a x
2 + y
2 = u
2 + v
2 et donc
g(u, v) =
1
2π
exp(−
1
2
(u
2 + v
2 )) =
1
√
2π
exp(−
1
2
u
2 ) ×
1
√
2π
exp(−
1
2
v
2 ).
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4.
Faisons le changement de variable u = x + y, v = x/(x + y), qui
´ etablit une bijection de ]0, +∞[×]0, +∞[ sur ]0, +∞[×]0, 1[. On a :
x = uv, y = u(1 − v), D(x, y)/D(u, v) =
v
u
1 − v −u
= −u. La densit´ e
conjointe de (X, Y ) est donn´ ee par
f (x, y) =
λ
r
Γ(r)
e
−λx x
r−1 .
λ
s
Γ(s)
e
−λy y
s−1 =
λ
r+s
Γ(r)Γ(s)
e
−λ(x+y) x
r−1 y
s−1 ;
la densit´ e conjointe de (U, V ) est donc g(u, v) = f (uv, u(1 − v))u, soit
g(u, v) =
λ
r+s
Γ(r)Γ(s)
(uv)
r−1 (u(1 − v))
s−1 e
−λ(uv+u(1−v)) u
=
λ
r+s
Γ(r + s)
u
r+s−1 e
−λu .
Γ(r + s)
Γ(r)Γ(s)
v
r−1 (1 − v)
s−1 .
Par cons´ equent, g(u, v) est le produit de la densit´ e de la loi Γ(r + s, λ)
par la densit´ e de la loi Beta(r, s).
5. a) f (x) =
R
I [0,1] (v)g(x/v)(1/|v|) dv =
1
0
(1/v)g(x/v) dv.
b) La variable al´ eatoire X prend ses valeurs dans [0, +∞[. Supposons
x > 0 et faisons le changement de variable x/v = u. Il vient f (x) =
∞
x
(g(u)/u) du. De l` a f est d´ erivable et f
(x) = −g(x)/x (x > 0).
Comme, par hypoth` ese, g(x) > 0 pour tout x > 0, on voit que f
(x) < 0
pour tout x > 0. Il en r´ esulte que f est strictement d´ ecroissante sur
]0, +∞[ et admet donc un mode et un seul en x = 0.
c) La variable al´ eatoire X prend cette fois-ci ses valeurs dans R. Reprenons
la repr´ esentation de f donn´ ee en a) et effectuons toujours le changement
de variable x/v = u. Nous distinguons deux cas :
(1) pour x > 0, on obtient f (x) =
∞
x
(g(u)/u) du (x > 0) ;
(2) pour x < 0, on obtient f (x) =
−∞
x
(g(u)/u) du (x < 0).
Dans les deux cas, on voit que f est d´ erivable et que f
(x) = −g(x)/x
(x = 0). Par hypoth` ese, g(x) > 0 pour tout x ∈ R. Pour x < 0 on
a donc f
(x) < 0 et pour x < 0, f
(x) > 0. Il en r´ esulte que f est
strictement d´ ecroissante sur ]0, ∞[, strictement croissante sur ] − ∞, 0[.
Elle admet donc un mode et un seul en x = 0.
d) La relation xf
(x) + g(x) = 0 donne f
(x) = −(x/
√
2π)e
−x
2 /2 , d’o` u
f (x) = (1/
√
2π)e
−x
2 /2 .
6. a) Faisons le changement de variable
u
v
= A
x
y
,
x
y
= A
−1
u
v
,
(D(x, y)/D(u, v)) = det A
−1 = ±1. D’o` u, avec les mˆ emes notations
qu’en 3)
g(u, v) = f (x(u, v), y(u, v))
det A
−1
=
1
2π
exp(−
1
2
(x
2 (u, v) + y
2 (u, v))).
Or, puisque A est orthogonale, on a x
2 + y
2 = u
2 + v
2 et donc
g(u, v) =
1
2π
exp(−
1
2
(u
2 + v
2 )) =
1
√
2π
exp(−
1
2
u
2 ) ×
1
√
2π
exp(−
1
2
v
2 ).