CHAPITRE 18
323
4.
Soit (X k ) (k ≥ 1) une suite de variables al´ eatoires ind´ ependantes de
loi commune pε 1 + qε 0 . Posons S n =
n
k=1
X k . La somme dont on calcule la limite est ´ egale, vu que S n suit la loi binomiale B(n, p), `
a
P{[n/2] + 1 ≤ S n ≤ n} = P
[n/2] + 1 − np
√ npq
≤
S n − np
√ npq
≤
n − np
√ npq
,
une expression qui pour n grand est ´ equivalente `
a : P
(n/2) − np
√ npq
≤
S n − np
√ npq
≤
nq
√ npq
= P
−
p − (1/2)
√ pq
√
n ≤
S n − np
√ npq
≤
q
p
√
n
.
D’apr` es le th´ eor` eme central limit, cette derni` ere expression est ´ equivalente `
a
1
√
2π
√
(q/p)
√
n
−(p−(1/2))
√
n/
√ pq
e
−x
2 /2 dx, qui, puisque p >
1
2 , tend
vers
1
√
2π
+∞
−∞
e
−x
2 /2 dx = 1.
Remarque. — Interpr´ etons X k comme la fonction indicatrice de la voix
recueillie pour un candidat A par le k
i` eme ´ electeur. S’il y a n ´ electeurs,
S n repr´ esente le nombre de voix recueillies par A. Le pr´ ec´ edent r´ esultat
montre que si p >
1
2 , c’est-` a-dire si la probabilit´ e est a priori favorable
au candidat A, alors la probabilit´ e pour que la d´ ecision, prise ` a la
majorit´ e d’une seule voix, soit favorable `
a A, tend vers 1, lorsque le
nombre des votants tend vers l’infini.
5. a) D´ esignons par F n , F les fonctions de r´ epartition de Y n , Y . Pour tout
point de continuit´ e x de F et tout n ≥ 1, on a P{Y N n ≤ x} =
k≥1
P{Y N n ≤ x, N n = k} =
k≥1
P{Y k ≤ x, N n = k}. En vertu de
l’ind´ ependance des suites (Y n ), (N n ), on en d´ eduit P{Y N n ≤ x} =
k≥1
P{Y k ≤ x}P{N n = k} =
k≥1
F k (x)P{N n = k}, d’o` u
P{Y N n ≤ x} − F(x) =
k≥1
(F k (x) − F(x))P{N n = k} =
M
k=1
(F k (x) −
F (x))P{N n = k}+
k>M
(F k (x)−F(x))P{N n = k} = J 1 +J 2 . Supposons
` a pr´ esent que Y n
L
−→ Y .
On peut choisir M assez grand pour que pour tout k ≥ M on ait
|F k (x) − F(x)| < ε, d’o` u |J 2 | < ε.
Le nombre M ainsi fix´ e, faisons tendre n vers l’infini. Puisque par
hypoth` ese N n
p
−→ + ∞, on a, pour tout k ≥ 1, lim
n→∞
P{N n = k} = 0.
On peut donc choisir n 0 assez grand pour que pour tout n > n 0 on ait
|J 1 | < ε.
b) C’est une cons´ equence directe de a), puisque d’apr` es le Th´ eor` eme
central limit , on a Y n
L
−→ N (0, 1).
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4.
Soit (X k ) (k ≥ 1) une suite de variables al´ eatoires ind´ ependantes de
loi commune pε 1 + qε 0 . Posons S n =
n
k=1
X k . La somme dont on calcule la limite est ´ egale, vu que S n suit la loi binomiale B(n, p), `
a
P{[n/2] + 1 ≤ S n ≤ n} = P
[n/2] + 1 − np
√ npq
≤
S n − np
√ npq
≤
n − np
√ npq
,
une expression qui pour n grand est ´ equivalente `
a : P
(n/2) − np
√ npq
≤
S n − np
√ npq
≤
nq
√ npq
= P
−
p − (1/2)
√ pq
√
n ≤
S n − np
√ npq
≤
q
p
√
n
.
D’apr` es le th´ eor` eme central limit, cette derni` ere expression est ´ equivalente `
a
1
√
2π
√
(q/p)
√
n
−(p−(1/2))
√
n/
√ pq
e
−x
2 /2 dx, qui, puisque p >
1
2 , tend
vers
1
√
2π
+∞
−∞
e
−x
2 /2 dx = 1.
Remarque. — Interpr´ etons X k comme la fonction indicatrice de la voix
recueillie pour un candidat A par le k
i` eme ´ electeur. S’il y a n ´ electeurs,
S n repr´ esente le nombre de voix recueillies par A. Le pr´ ec´ edent r´ esultat
montre que si p >
1
2 , c’est-` a-dire si la probabilit´ e est a priori favorable
au candidat A, alors la probabilit´ e pour que la d´ ecision, prise ` a la
majorit´ e d’une seule voix, soit favorable `
a A, tend vers 1, lorsque le
nombre des votants tend vers l’infini.
5. a) D´ esignons par F n , F les fonctions de r´ epartition de Y n , Y . Pour tout
point de continuit´ e x de F et tout n ≥ 1, on a P{Y N n ≤ x} =
k≥1
P{Y N n ≤ x, N n = k} =
k≥1
P{Y k ≤ x, N n = k}. En vertu de
l’ind´ ependance des suites (Y n ), (N n ), on en d´ eduit P{Y N n ≤ x} =
k≥1
P{Y k ≤ x}P{N n = k} =
k≥1
F k (x)P{N n = k}, d’o` u
P{Y N n ≤ x} − F(x) =
k≥1
(F k (x) − F(x))P{N n = k} =
M
k=1
(F k (x) −
F (x))P{N n = k}+
k>M
(F k (x)−F(x))P{N n = k} = J 1 +J 2 . Supposons
` a pr´ esent que Y n
L
−→ Y .
On peut choisir M assez grand pour que pour tout k ≥ M on ait
|F k (x) − F(x)| < ε, d’o` u |J 2 | < ε.
Le nombre M ainsi fix´ e, faisons tendre n vers l’infini. Puisque par
hypoth` ese N n
p
−→ + ∞, on a, pour tout k ≥ 1, lim
n→∞
P{N n = k} = 0.
On peut donc choisir n 0 assez grand pour que pour tout n > n 0 on ait
|J 1 | < ε.
b) C’est une cons´ equence directe de a), puisque d’apr` es le Th´ eor` eme
central limit , on a Y n
L
−→ N (0, 1).