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SOLUTIONS DES EXERCICES
ϕ(u 1 , u 2 ) = E[e
i(u 1 Y 1 +u 2 Y 2 ) ] = E[e
i(u 1 +u 2 )X+u 1 X 1 +u 2 X 2 ]
= ϕ X (u 1 + u 2 )ϕ X 1 (u 1 )ϕ X 2 (u 2 ). D’o` u l’on tire
ϕ(u 1 , 0)ϕ(0, u 2 ) = ϕ X (u 1 )ϕ X (u 2 )ϕ X 1 (u 1 )ϕ X 2 (u 2 ). Or le couple (Y 1 , Y 2 )
est ind´ ependant, si et seulement si ϕ(u 1 , u 2 ) = ϕ(u 1 , 0)ϕ(0, u 2 ), une
relation qui se r´ ecrit ϕ X (u 1 + u 2 ) = ϕ X (u 1 )ϕ X (u 2 ). C’est l’´ equation
fonctionnelle de l’exponentielle. D’o` u ϕ X (u) = e
cu , avec c = iα et α
r´ eel, puisque ϕ X (u) est une fonction caract´ eristique. Par cons´ equent,
X = α, presque sˆ urement.
14.
Pour u ≥ 0, x > 0, on a, d’apr` es l’in´ egalit´ e de Markov, P{X ≥ x} =
P{e
uX
≥ e
ux
} ≤ e
−ux
E[e
uX ], d’o` u le r´ esultat en prenant l’infimum au
dernier membre.
Chapitre 14
1.
Supposons que r soit continue `
a droite et v´ erifie l’identit´ e. D’abord
r(0) = r(0)
2 , d’o` u r(0) = 0 ou 1. Si r(0) = 0, l’identit´ e entraˆ ıne que r est
identiquement nulle. Supposons r(0) = 1 ; on a alors r(1) = r(1/2)
2
≥ 0.
Si r(1) = 0, l’´ equation r(1) = r
1
n
+· · ·+
1
n
= r
n
1
n
(n ≥ 1) entraˆ ıne
que r(1/n) = 0 pour tout n ≥ 1. Comme r est continue `
a droite, il
vient r(0) = 0, contrairement `
a l’hypoth` ese. Par cons´ equent, r(1) > 0
et r(1/n) = (r(1))
1/n pour tout n ≥ 1 et aussi r(m/n) =
r(1)
m/n .
Comme, d’une part, tout nombre r´ eel x ≥ 0 est limite ` a droite d’une
suite de nombre rationnels (q n ) et, d’autre part, r est continue ` a droite,
on a : r(x) = r(lim n q n ) = lim n r(q n ) = lim n
r(1)
q n =
r(1)
x . On en
d´ eduit : r(x) = e
αx avec α = Log r(1).
2. a) Pour x ≥ 1 on a : P{X > x} = P{e
Y > x} = P{Y > Log x} =
e
−λ Log x = x
−λ et f (x) = −(d/dx)P{X > x} = λ/x
λ+1 .
b) E[X] =
∞
0
r(x) dx =
1
0
dx +
∞
1
x
−λ dx = λ/(λ − 1), si λ > 1. Si
λ ≤ 1, l’int´ egrale ne converge pas.
c) On a : P{X
k > x} = P{X >
k
√
x} = x
−λ/k , si x ≥ 1, et 1 si 0 ≤ x < 1.
D’o` u E[X
k ] = λ/(λ − k), si λ > k et E[X
k ] = +∞, si λ ≤ k. Une
variable de Pareto n’admet pas des moments de tous les ordres, donc
pas non plus de fonction g´ en´ eratrice des moments.
3.
Pour x ≥ 0 on a r(x) = P{X ≥ x} = P{Y ≥ x
α
} = e
−λx
α ,
d’o` u f (x) = −r
(x). Enfin, E[X] =
+∞
0
r(x) dx =
+∞
0
e
−λx
α dx =
(1/λ
1/α )(1/α)
+∞
0
e
−u u
(1/α)−u du = (1/λ
1/α )Γ(1 + (1/α)), par le
changement de variable λx
α = u.
4.
En effet, F (x) = P{X ≤ x} = P{− Log(e
Y
− 1) ≤ x} = P{Log(e
Y
−
1) ≥ −x} = P{e
Y
≥ 1+e
−x
} = P{Y ≥ Log(1+e
−x )} = exp(− Log(1+
e
−x )) = 1/(1 + e
−x ). Par d´ erivation, on obtient l’expression de f (x).
Enfin, la d´ eriv´ ee seconde de Log f (x) est ´ egale ` a −1/(1 + ch x) < 0.
SOLUTIONS DES EXERCICES
ϕ(u 1 , u 2 ) = E[e
i(u 1 Y 1 +u 2 Y 2 ) ] = E[e
i(u 1 +u 2 )X+u 1 X 1 +u 2 X 2 ]
= ϕ X (u 1 + u 2 )ϕ X 1 (u 1 )ϕ X 2 (u 2 ). D’o` u l’on tire
ϕ(u 1 , 0)ϕ(0, u 2 ) = ϕ X (u 1 )ϕ X (u 2 )ϕ X 1 (u 1 )ϕ X 2 (u 2 ). Or le couple (Y 1 , Y 2 )
est ind´ ependant, si et seulement si ϕ(u 1 , u 2 ) = ϕ(u 1 , 0)ϕ(0, u 2 ), une
relation qui se r´ ecrit ϕ X (u 1 + u 2 ) = ϕ X (u 1 )ϕ X (u 2 ). C’est l’´ equation
fonctionnelle de l’exponentielle. D’o` u ϕ X (u) = e
cu , avec c = iα et α
r´ eel, puisque ϕ X (u) est une fonction caract´ eristique. Par cons´ equent,
X = α, presque sˆ urement.
14.
Pour u ≥ 0, x > 0, on a, d’apr` es l’in´ egalit´ e de Markov, P{X ≥ x} =
P{e
uX
≥ e
ux
} ≤ e
−ux
E[e
uX ], d’o` u le r´ esultat en prenant l’infimum au
dernier membre.
Chapitre 14
1.
Supposons que r soit continue `
a droite et v´ erifie l’identit´ e. D’abord
r(0) = r(0)
2 , d’o` u r(0) = 0 ou 1. Si r(0) = 0, l’identit´ e entraˆ ıne que r est
identiquement nulle. Supposons r(0) = 1 ; on a alors r(1) = r(1/2)
2
≥ 0.
Si r(1) = 0, l’´ equation r(1) = r
1
n
+· · ·+
1
n
= r
n
1
n
(n ≥ 1) entraˆ ıne
que r(1/n) = 0 pour tout n ≥ 1. Comme r est continue `
a droite, il
vient r(0) = 0, contrairement `
a l’hypoth` ese. Par cons´ equent, r(1) > 0
et r(1/n) = (r(1))
1/n pour tout n ≥ 1 et aussi r(m/n) =
r(1)
m/n .
Comme, d’une part, tout nombre r´ eel x ≥ 0 est limite ` a droite d’une
suite de nombre rationnels (q n ) et, d’autre part, r est continue ` a droite,
on a : r(x) = r(lim n q n ) = lim n r(q n ) = lim n
r(1)
q n =
r(1)
x . On en
d´ eduit : r(x) = e
αx avec α = Log r(1).
2. a) Pour x ≥ 1 on a : P{X > x} = P{e
Y > x} = P{Y > Log x} =
e
−λ Log x = x
−λ et f (x) = −(d/dx)P{X > x} = λ/x
λ+1 .
b) E[X] =
∞
0
r(x) dx =
1
0
dx +
∞
1
x
−λ dx = λ/(λ − 1), si λ > 1. Si
λ ≤ 1, l’int´ egrale ne converge pas.
c) On a : P{X
k > x} = P{X >
k
√
x} = x
−λ/k , si x ≥ 1, et 1 si 0 ≤ x < 1.
D’o` u E[X
k ] = λ/(λ − k), si λ > k et E[X
k ] = +∞, si λ ≤ k. Une
variable de Pareto n’admet pas des moments de tous les ordres, donc
pas non plus de fonction g´ en´ eratrice des moments.
3.
Pour x ≥ 0 on a r(x) = P{X ≥ x} = P{Y ≥ x
α
} = e
−λx
α ,
d’o` u f (x) = −r
(x). Enfin, E[X] =
+∞
0
r(x) dx =
+∞
0
e
−λx
α dx =
(1/λ
1/α )(1/α)
+∞
0
e
−u u
(1/α)−u du = (1/λ
1/α )Γ(1 + (1/α)), par le
changement de variable λx
α = u.
4.
En effet, F (x) = P{X ≤ x} = P{− Log(e
Y
− 1) ≤ x} = P{Log(e
Y
−
1) ≥ −x} = P{e
Y
≥ 1+e
−x
} = P{Y ≥ Log(1+e
−x )} = exp(− Log(1+
e
−x )) = 1/(1 + e
−x ). Par d´ erivation, on obtient l’expression de f (x).
Enfin, la d´ eriv´ ee seconde de Log f (x) est ´ egale ` a −1/(1 + ch x) < 0.