CHAPITRE 13
311
int´ egrant `
a x constant,
g(u) =
1
√
2π
R
1
√
2π
R
e
uxy−y
2 /2 dy
e
−x
2 /2 dx
=
1
√
2π
R
e
u
2 x
2 /2 e
−x
2 /2 dx =
1
√
2π
R
e
−(1−u
2 )x
2 /2 dx
=
1
√
1 − u 2
(|u| < 1).
9.
La variable ∆ = X 1 X 4 − X 2 X 3 est la somme des deux variables
al´ eatoires ind´ ependantes X 1 X 4 et −X 2 X 3 . Or L(−X 2 X 3 ) = L(X 2 X 3 ).
Donc L(∆) est la loi de la somme des deux variables al´ eatoires ind´ ependantes identiquement distribu´ ees X 1 X 4 et X 2 X 3 . D’apr` es l’exercice
pr´ ec´ edent, on en tire : g ∆ (u) =
1
√
1 − u 2
.
1
√
1 − u 2
=
1
1 − u 2 (|u| < 1).
10. a) On a :
k≥0
α k (ϕ)
k = e
−λ
k≥0
(λϕ)
k
k!
= e
−λ e
λϕ = e
λ(ϕ−1) . Si ϕ = e
it ,
alors
k≥0
α k (ϕ)
k =
k≥0
α k e
ikt , qui est la fonction caract´ eristique de la
loi P(λ).
b) On a :
k≥0
α k (ϕ)
k = p
k≥0
(qϕ)
k =
p
1 − qϕ
=
1 − q
1 − qϕ
=
λ − 1
λ − ϕ
, o` u
l’on a pos´ e 1/q = λ > 1. Dans le cas particulier o` u ϕ(t) = e
it , alors
k≥0
α k (ϕ)
k =
k≥0
α k e
ikt , qui est la fonction caract´ eristique de la loi
g´ eom´ etrique
k
pq
k ε k (k ≥ 0).
11. a) Prenons ϕ λ (t) = ϕ(λt) (λ ∈ [0, 1]) et f (λ) = I [0,1] (λ). Alors
1
0
ϕ λ (t) dλ =
1
0
ϕ(λt) dλ = (1/t)
t
0
ϕ(u) du = Φ(t) est une fonction
caract´ eristique.
b) Pour tout λ ∈ [0, +∞[ la fonction ϕ λ (t) = e
−λ
2 t
2 est une fonction
caract´ eristique. De plus, pour α > −1 la fonction f (λ) = λ
α e
−λ
2 /I α ,o` u
I α =
∞
0
λ
α e
−λ
2 dλ < ∞, est une densit´ e de probabilit´ e sur [0, +∞[.
Enfin,
∞
0
e
−λ
2 t
2 (λ
α e
−λ
2 /I α ) dλ = (1/I α )
∞
0
λ
α e
−λ
2 (1+t
2 ) dλ, une
expression qui par le changement de variable λ
√
1 + t 2 = u vaut
(1/I α )(1/(1 + t
2 )
(α+1)/2 )
∞
0
u
α e
−u
2 du = 1/(1 + t
2 )
(α+1)/2 ou encore
1/(1 + t
2 )
γ [en posant γ = (α + 1)/2 > 0] et qui est bien une fonction
caract´ eristique.
12.
On a ϕ X (t) = ϕ −Y +Z (t) = ϕ −Y (t)ϕ Z (t) = ϕ Y (t)ϕ Z (t) et aussi
ϕ Y (t) = ϕ X (t)ϕ Z (t) en ´ echangeant les rˆ oles de X et Y . On en d´ eduit
|ϕ Z (t)|
2 = 1, d’o` u |ϕ Z (t)| = 1 et ϕ Z (t) = e
ict avec c ∈ R.
13.
Notons ϕ(u 1 , u 2 ) la fonction caract´ eristique du couple (Y 1 , Y 2 ). On a