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SOLUTIONS DES EXERCICES
E
1
X p
=
1
Γ(p)
∞
0
g(u)u
p−1 du.
5.
D´ esignons par m 1 l’esp´ erance math´ ematique de X et par µ 2 , µ 3 ,
µ 4 ses moments centr´ es d’ordre 2, 3, 4. Posons X − m 1 = Y , d’o` u
g(u) = e
um 1 g Y (u), h(u) = Log g(u) = um 1 + Log g Y (u). Or
g Y (u) = 1 + µ 2
u
2
2!
+ µ 3
u
3
3!
+ µ 4
u
4
4!
+ o(|u|
4 ) = 1 + λ(u) ;
h(u) = um 1 + Log
1 + λ(u)
= um 1 + λ(u) −
λ
2 (u)
2!
+ o(|u|
4 )
d’o` u
= um 1 + µ 2
u
2
2!
+ µ 3
u
3
3!
+ (µ 4 − 3µ
2
2 )
u
4
4!
+ o(|u|
4 ).
On constate que h
(0) = m 1 , h
(0) = µ 2 , h
(0) = µ 3 , h
(4) (0) =
µ 4 − 3µ
2
2 . Ce sont les quatre premiers cumulants de X.
6. a) E[X
n ] =
∞
1
x
n f (x) dx = a
∞
1
dx
x (a+1)−n . L’int´ egrale au dernier
membre est convergente, si et seulement si (a + 1) − n > 1, c’est-` adire n < a, et dans ce cas elle vaut a/(a − n).
b) g(u) = E[e
uX ] =
∞
1
e
uX f (x) dx = a
∞
1
e
ux
x a+1 dx. Cette int´ egrale est
d´ efinie, si et seulement si u ∈]−∞, 0]. Or ]−∞, 0] n’est pas un voisinage
ouvert de u = 0 ; la fonction g n’est donc pas une fonction g´ en´ eratrice
des moments. D’ailleurs, si elle en ´ etait une, la variable al´ eatoire X
admettrait des moments de tous les ordres, ce qui, d’apr` es a), n’est pas
le cas. En revanche, X admet une fonction caract´ eristique tout comme
toute variable al´ eatoire.
7.
g(u) =
1
√
2π
R
e
u|x| e
−x
2 /2 dx =
2
√
2π
∞
0
e
ux−x
2 /2 dx. Or ux −
x
2
2
=
−
(x − u)
2
2
+
u
2
2
; d’o` u g(u) = 2e
u
2 /2 1
√
2π
∞
0
e
−(x−u)
2 /2 dx. En faisant x − u = t, on obtient : g(u) = 2e
u
2 /2 1
√
2π
∞
−u
e
−t
2 /2 dt =
2e
u
2 /2 1
√
2π
0
−u
e
−t
2 /2 dt +
∞
0
e
−t
2 /2 dt
, soit
g(u) = 2e
u
2 /2
1
2
−
1
√
2π
−u
0
e
−t
2 /2 dt
= e
u
2 /2 (1 − 2Φ(−u)), o` u l’on
a pos´ e Φ(u) =
1
√
2π
u
0
e
−t
2 /2 dt.
8.
On a g(u) = E[e
uXY ] =
1
2π
R 2
e
uxy e
−x
2 /2 e
−y
2 /2 dx dy ; d’o` u, en