CHAPITRE 13
309
k = 1 :
0 ;
k = 2 :
pq
2 + qp
2 = pq(p + q) = pq ;
k = 3 :
pq
3
− qp
3 = pq(q
2
− p
2 ) = pq(q − p) ;
k = 4 :
pq
4 + qp
4 = pq(q
3 + p
3 ) = pq(1 − 3pq).
3. a) g
1 (u) = −E[Xe
−uX ], d’o` u, en multipliant par e
−yu (u ≥ 0),
g
1 (u)e
−yu = −E[Xe
−u(X+y) ]. En int´ egrant, on obtient
∞
0
g
1 (u)e
−yu du = E
X
X + y
.
(1)
En conditionnant par rapport `
a Y , il vient
E
X
X + Y
= E
E
X
X + Y
Y
=
∞
0
E
X
X + Y
Y = y
dµ(y)
=
∞
0
E
X
X + y
dµ(y) ;
d’o` u, en rempla¸ cant E[(X/X + y)] par sa valeur trouv´ ee dans (1)
E
X
X + Y
= −
∞
0
dµ(y)
∞
◦
g
1 (u)e
−yu du
;
enfin, en utilisant le th´ eor` eme de Fubini
E
X
X + Y
= −
∞
0
g
1 (u)
∞
0
e
−yu dµ(y)
du = −
∞
0
g
1 (u)g 2 (u) du.
b) Supposons X, Y ind´ ependants et de mˆ eme loi ; d’o` u g 1 = g 2 = g. Alors
E
X
X + Y
=−
∞
0
g
(u)g(u) du = −
1
2
∞
0
g
2 (u)
du =
1
2
1− lim
u→∞
g
2 (u)
.
Or E
X
X + Y
=
1
2
, puisque 1 = E
X + Y
X + Y
et que E
X
X + Y
=
E
Y
X + Y
; d’o` u lim
u→+∞
g
2 (u) = 0.
4.
Partons de la d´ efinition de la fonction gamma
Γ(p) =
∞
0
e
−x x
p−1 dx
(p > 0)
et faisons le changement de variable x = su (s > 0)
Γ(p) = s
p
∞
0
e
−su u
p−1 du ;
1
s p =
1
Γ(p)
∞
0
e
−su u
p−1 du.
Prenons pour s une variable al´ eatoire X ` a valeurs strictement positives
et posons g(u) = E[e
−uX ] ; il vient
1
X p =
1
Γ(p)
∞
0
e
−uX u
p−1 du,
d’o` u, en utilisant le th´ eor` eme de Fubini, l’identit´ e suivante dans [0, +∞]