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SOLUTIONS DES EXERCICES
2) La loi conjointe de (X − Y, Y ) est donn´ ee par P{X − Y = k, Y = l} =
P{X = k + l, Y = l} = P{X = k + l}P{Y = l | X = k + l} = P{X =
k + l}/(k + l + 1) (k, l ≥ 0) ; d’o` u, en posant u n = P{X = n}/(n + 1)
(n ≥ 0), l’expression P{X − Y = k, Y = l} = u k+l . On voit que cette
loi conjointe est sym´ etrique en k, l ; il en r´ esulte que les lois marginales
de X − Y et Y sont identiques. De fa¸ con pr´ ecise, P{X − Y = k} =
l≥0
u k+l =
i≥k
u i et P{Y = l} =
k≥0
u k+l =
j≥l
u j .
b ⇒ a : Si b) est v´ erifi´ ee, on a u l = P{Y = l} − P{Y = l + 1} =
q
l p − q
l+1 p = q
l p
2 (l ≥ 0) ; d’o` u u k+l = q
k+l p
2 = (q
k p)(q
l p), c’est-` a-dire
P{X − Y = k, Y = l} = P{X − Y = k}P{Y = l}.
a ⇒ b : Si a) est v´ erifi´ ee, on a u k+l =
i≥k
u i
j≥l
u j
. En faisant
l = 0 et en posant p =
j≥0
u j , qui est dans ]0, 1[, il vient u k = p
i≥k
u i ,
u k − u k+1 = pu k , qu k = u k+1 (q = 1 − p). Puisque u 0 = p
2 , on obtient
u k = q
k p
2 (k ≥ 0), d’o` u P{Y = l} =
j≥l
u j = q
l p (l ≥ 0).
13. a) On peut prendre g(a, b) = E[X | a ≤ X ≤ b]. Or la fonction de survie
conditionnelle pour tout x ≥ 0 est donn´ ee par
P{X > x | a ≤ X ≤ b} =
P{X > x, a ≤ X ≤ b}
P{a ≤ X ≤ b}
=

 
 
1,
si 0 ≤ x < a ;
P{X > x} − P{X > b}
P{X > a} − P{X > b}
=
e
−λx
− e
−λb
e −λa − e −λb , si a ≤ x ≤ b ;
0,
si x > b.
D’o` u g(a, b) =
a
0
1 dx +
b
a
e
−λx
− e
−λb
e −λa − e −λb dx =
1
λ
+
ae
−λa
− be
−λb
e −λa − e −λb .
b) On a lim
b→∞
g(a, b) = E[X | X > a] =
1
λ
+ a = E[X] + a, un r´ esultat qu’on
peut pr´ evoir a priori, en raison de la propri´ et´ e d’absence de m´ emoire
de la loi exponentielle.
c) On a g(a, a + ε) =
1
λ
+
−
1
λ
+ a + o(ε)
. D’o` u lim
ε→0+
g(a, a + ε) = a.
Chapitre 13
1.
Se rappeler la d´ efinition de l’aire d’un parall´ elogramme et faire plusieurs
croquis annexes.
2.
g(u) = E[e
u(X−p) ] = pe
qu + qe
−pu (u ∈ R). Ainsi g(u) admet le
d´ eveloppement suivant en s´ erie enti` ere, valable pour tout r´ eel u :
g(u) = p
k≥0
(qu)
k
k!
+ q
k≥0
(−pu)
k
k!
=
k≥0
pq
k + q(−p)
k
u
k
k!
.
Le moment d’ordre k ≥ 1 est le coefficient de u
k /k! dans ce d´ eveloppement ; d’o` u E
(X − p)
k
= pq
k + q(−p)
k (k ≥ 1)