CHAPITRE 14
313
5.
Pour 0 ≤ x ≤ 1 on a P{Y > x} = (P{X > x})
n = (1 − x)
n , d’o` u
P{Y ≤ x} = 1 − P{Y ≥ x} = 1 − (1 − x)
n . La densit´ e de Y est donc
donn´ ee par f (x) = n(1 − x)
n−1 = nx
1−1 (1 − x)
n−1 , qui est la densit´ e de
probabilit´ e de la loi B(1, n). De mˆ eme, P{X ≤ x} = x
n , ce qui donne
pour densit´ e : f (x) = nx
n−1 = nx
n−1 (1 − x)
1−1 , soit la densit´ e de la
loi B(n, 1).
6. a) e 0 = exp
1
2
Log 2 +
Γ
(1/2)
Γ(1/2)
. En effet, on sait que : E[|X|
r ] =
2
r/2
√
π
Γ
r + 1
2
(r > −1) ; d’o` u, puisque
√
π = Γ(1/2), Log e r =
1
r
r
2
Log 2 + Log
Γ(1/2 + r/2)
Γ(1/2)
=
Log 2
2
+
1
r
Log
Γ(1/2 + r/2)
Γ(1/2)
. Or
Log
Γ(1/2 + r/2)
Γ(1/2)
=
Γ(1/2) + (r/2)Γ
(1/2) + o(r)
Γ(1/2)
= 1 +
r
2
Γ
(1/2)
Γ(1/2)
+
o(r) ; d’o` u Log
Γ(1/2 + r/2)
Γ(1/2)
=
r
2
Γ
(1/2)
Γ(1/2)
+ o(r) ; le r´ esultat s’en d´ eduit.
b) e 0 = λ
−1 e
−γ , o` u γ est la constante d’Euler. En effet, on sait que
E[X
r ] = Γ(r+1)/λ
r (r > −1), d’o` u Log e r =
1
r [−r log λ+Log Γ(1+r)] =
− Log λ+
1
r Log Γ(1+r)/ Or Γ(1+r) = Γ(1)+rΓ
(1)+o(r). On sait que
Γ
(1) = −γ ; d’o` u Γ(1 + r) = 1 − γr + o(r), Log Γ(1 + r) = −γr + o(r)
et le r´ esultat.
c) Il suffit d’observer que E[|X|
r ] < +∞ pour tout r ∈ [0, 1[.
d) Prendre X = e
Y , o` u Y est une variable al´ eatoire de Cauchy C(0, 1). On
voit que E[X
r ] n’est finie pour aucune valeur r > 0.
7.
On a pour tout x > 0
1
ρ(x)
=
r(x)
f (x)
=
∞
x
e
−λt (λt)
p−1 dt
e −λx (λx) p−1
=
∞
x
e
−λ(t−x)
t
x
p−1
dt ;
d’o` u, en faisant le changement de variable t − x = u
1
ρ(x)
=
∞
0
e
−λu
1 +
u
x
p−1
du ;
d’o` u le r´ esultat.
8.
E[X
r ] =
λ
p
Γ(p)
∞
0
e
−λx x
p+r−1 dx ; en faisant le changement de variable
λx = u on obtient : E[X
r ] =
1
λ r
1
Γ(p)
∞
0
e
−u u
p+r−1 du. L’int´ egrale du
second membre est convergente, si et seulement si p + r > 0 et dans ce
cas vaut Γ(p + r).
9. a) g(u) = E[e
u|X| ] =
1
2
R
e
(u−1)|x| dx =
∞
0
e
(u−1)x dx. Cette int´ egrale
est convergente pour u − 1 < 0 ; en faisant le changement de variable
(u − 1)x = y, il vient g(u) = 1/(1 − u) (u < 1) ; la loi de |X| est E(1).