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SOLUTIONS DES EXERCICES
Or f X (x) > 0, si et seulement si |x| < r, d’o` u
f Y | X (y | x) =
1
2
1
√
r 2 − x 2
,
si |x| < r, |y| ≤
√
r 2 − x 2 ;
densit´ e arbitraire, sinon.
E[Y
2
| X = x] =
R
y
2 f Y | X (y | x) dy =
r
2
− x
2
3
;
E[X
2 + Y
2
| X = x] = x
2 +
r
2
− x
2
3
=
r
2 + 2x
2
3
;
E[X
2 + Y
2
| X] =
r
2 + 2X
2
3
.
g) P{L ≤ a} = P{
√
X 2 + Y 2 ≤ a} = P{X
2 + Y
2
≤ a
2
} = G(a
2 ) = a
2 /r
2 .
P{min(L 1 , . . . , L n ) > a} = P{L 1 > a} . . . P{L n > a} =
1 −
a
2
r 2
n
.
P{min(L 1 , . . . , L n ) ≤ a} = 1 −
1 −
a
2
r 2
n
. C’est la probabilit´ e pour
qu’un tir au moins touche le disque (0, a) de centre 0 et de rayon a.
6. a) En d´ esignant par f (x 1 , x 2 ) la densit´ e conjointe de M et par f X 1 (x 1 )
la densit´ e marginale de X 1 , la densit´ e de X 2 li´ ee par {X 1 = x 1 } est
donn´ ee par
f X 2 | X 1 (x 2 | x 1 ) =
f (x 1 , x 2 )
f X 1 (x 1 )
=
1
1 − ρ 2
exp
−
1
2
(x 2 − ρx 1 )
2
1 − ρ 2
.
C’est la densit´ e de la loi N (ρx 1 ,
1 − ρ 2 ).
b) On a E[X 2 | X 1 ] = ρX 1 , d’o` u le r´ esultat en vertu du Corollaire 2 du
Th´ eor` eme 5.6.
7.
Nous donnerons trois exemples.
a) Prenons f (x 1 , x 2 ) =
1
2π
exp
−
1
2
(x
2
1 + x
2
2 )
+ a g(x 1 , x 2 ), o` u
g(x 1 , x 2 ) =
x 1 x 2 , si |x 1 | ≤ 1, |x 2 | ≤ 1,
0,
sinon,
et o` u a est une constante
positive telle que f (x 1 , x 2 ) soit strictement positive. On v´ erifie que
f (x 1 , x 2 ) est une densit´ e de probabilit´ e, ´ evidemment non normale, et
que ses densit´ es marginales ont les densit´ es de N (0, 1).
b) Soit (X, Z) un couple de variables al´ eatoires ind´ ependantes, o` u X suit
la loi normale N (0, 1) et Z la loi
1
2 (ε −1 + ε +1 ). Posons Y = XZ ; alors
le couple (X, Y ) fournit un exemple ; en effet, X et Y suivent la loi
N (0, 1). C’est le cas, par d´ efinition, pour X. Pour Y on le voit comme
suit : P{Y ≤ y} = P{Y ≤ y | Z = +1}
1
2 + P{Y ≤ y | Z = −1}
1
2 =
1
2
P{X ≤ y | Z = +1} + P{−X ≤ y | Z = −1}
, une expression qui est
´ egale ` a
1
2
P{X ≤ y}+P{−X ≤ y}
, puisque X et Z sont ind´ ependants,
soit encore P{X ≤ y}, puisque X est sym´ etrique. En revanche, le couple
(X, Y ) ne suit pas une loi normale `
a deux dimensions. Il suffit pour le
voir de remarque que X + Y = X(1 + Z) est ´ egal ` a 0 avec probabilit´ e
1
2