CHAPITRE 12
305
A | Y = y j } I {y j ∈B} P{Y = y j } =
j∈J
P{X ∈ A, Y = y j } I {y j ∈B} =
P{X ∈ A, Y ∈ B}.
c) La propri´ et´ e (1) est banale ; pour (2), le fait que y → Q y (A) =
A
f X | Y (x | y) dx soit mesurable r´ esulte du th´ eor` eme de Fubini. Enfin,
la condition (3) r´ ecrite dans sa forme int´ egrale s’exprime comme :
x∈A, y∈B
f X,Y (x, y) dx dy =
y∈B
x∈A
f X | Y (x | y) dx
f Y (y) dy,
une identit´ e qui a ´ et´ e v´ erifi´ ee en (3.3).
2. a) f X (x) = e
−x I [0,+∞[ (x), f Y (y) = e
−y I [0,+∞[ (y).
b) On a, pour tout (x, y) ∈ R
2 , l’identit´ e f (x, y) = f X (x)f Y (y).
3.
Les variables X et Y ne sont pas ind´ ependantes : on v´ erifie que
f X (x) = 2e
−2x I [0,+∞[ (x) et f Y (y) = 2e
−y (1 − e
−y )I [0,+∞[ (y), de sorte
que l’on n’a pas f (x, y) = f X (x)f Y (y). [f (x, y) n’est qu’en apparence le
produit d’une fonction de x par une fonction de y.]
4.
La condition est ´ evidemment n´ ecessaire. Montrons qu’elle est suffisante. En d´ esignant par f X (x), f Y (y) les densit´ es marginales de
X, Y , il vient f X (x) =
R
f (x, y) dy = g(x)
R
h(y) dy
, et aussi
f Y (y) =
R
f (x, y) dx =
R
g(x) dx
h(y) ; d’o` u 1 =
R
f Y (y) dy =
R
g(x) dx
R
h(y) dy
et donc f X (x)f Y (y) = g(x)h(y) = f (x, y).
5. a)
f X (x) =



1
πr 2
+
√
r 2 −x 2
−
√
r 2 −x 2
dt =
2
π
√
r 2 − x 2
r 2
, si |x| ≤ r ;
0,
sinon.
f Y (y) =



2
π
r 2 − y 2
r 2
, si |y| ≤ r ;
0,
sinon.
E[X] = E[Y ] = 0.
b) X et Y ne sont pas ind´ ependantes.
c) Cov(X, Y ) = 0 ; en effet, E[XY ] = 0 (par sym´ etrie). Conclusion : le
couple (X, Y ) est non corr´ el´ e et pourtant il est non ind´ ependant.
d) G(u) = P{U ≤ u} = P{X
2 + Y
2
≤ u}. Si u ≤ 0, alors G(u) = 0. Si 0 <
u ≤ r
2 , on a G(u) = P{
√
X 2 + Y 2 ≤
√
u} = π(
√
u)
2 /(πr
2 ) = u/r
2 . Si
u > r
2 , on a G(u) = 1. Il en r´ esulte, en d´ erivant, g(u) = (1/r
2 )I [0,r 2 ] (u).
e) E[U ] =
R
ug(u) du =
1
r 2
r
2
0
u du =
r
2
2
. Or E[U ] = E[X
2 ] + E[Y
2 ]
et comme E[X
2 ] = E[Y
2 ], on a : E[X
2 ] = E[Y
2 ] = r
2 /4. Comme
E[X] = E[Y ] = 0, on en d´ eduit : Var X = Var Y = r
2 /4.
f) f Y | X (y | x) =



f X,Y (x, y)
f X (x)
,
si f X (x) > 0 ;
densit´ e arbitraire, sinon.